《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题11空间向量与立体几何必考题型分类训练（解析版）

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专题 11 空间向量与立体几何必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．解答题（共 4小题）

1．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为 O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为 1．

（1）若 AA1＝4，M为AA1的中点，求直线 MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过 OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

【分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．

【解答】解：（1）因为 AA1为圆柱的母线，所以 AA1垂直于上底面，

所以∠MO1A1是直线 MO1与上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，

所以∠MO1A1＝arctan2．

（2）因为圆柱过 OO1的截面为正方形，所以 AA1＝2，

所以圆柱的体积为 V＝πr2h＝π•12•2＝2π，

圆柱的侧面积为 S＝2πrh＝2π•1•2＝4π．

【点评】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题．

2．（2021•上海）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，已知 AB＝BC＝2，AA1＝3．

（1）若 P是棱 A1D1上的动点，求三棱锥 C﹣PAD 的体积；

（2）求直线 AB1与平面 ACC1A1的夹角大小．

【分析】（1）直接由三棱锥的体积公式求解即可；

（2）易知直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角为∠OAB1，求出其正弦值，再由反三角表示即可．

【解答】解：（1）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，＝

；

（2）连接 A1C1∩B1D1＝O，

∵AB＝BC，

∴四边形 A1B1C1D1为正方形，则 OB1⊥OA1，

又AA1⊥OB1，OA1∩AA1＝A1，

∴OB1⊥平面 ACC1A1，

∴直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角为∠OAB1，

∴ ．

∴直线 AB1与平面 ACC1A1所成的角为．

【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．

3．（2021•上海）四棱锥 P﹣ABCD，底面为正方形 ABCD，边长为 4，E为AB 中点，PE⊥平面 ABCD．

（1）若△PAB 为等边三角形，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积；

（2）若 CD 的中点为 F，PF 与平面 ABCD 所成角为 45°，求 PC 与AD 所成角的大小．

【分析】（1）由 V＝PE•S正方形 ABCD，代入相应数据，进行运算，即可；

（2）由 PE⊥平面 ABCD，知∠PFE＝45°，进而有 PE＝FE＝4，PB＝，由 AD∥BC，知∠PCB 或

其补角即为所求，可证 BC⊥平面 PAB，从而有 BC⊥PB，最后在 Rt△PBC 中，由 tan∠PCB＝，得解．

【解答】解：（1）∵△PAB 为等边三角形，且 E为AB 中点，AB＝4，

∴PE＝2，

又PE⊥平面 ABCD，

∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V＝PE•S正方形 ABCD＝×2 ×42＝．

（2）∵PE⊥平面 ABCD，

∴∠PFE 为PF 与平面 ABCD 所成角为 45°，即∠PFE＝45°，

∴△PEF 为等腰直角三角形，

∵E，F分别为 AB，CD 的中点，

∴PE＝FE＝4，

∴PB＝＝，

∵AD∥BC，

∴∠PCB 或其补角即为 PC 与AD 所成角，

∵PE⊥平面 ABCD，∴PE⊥BC，

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