《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题08平面向量及其应用必考题型分类训练（解析版）

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专题 08 平面向量及其应用必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．选择题（共 1小题）

1．（2021•上海）在△ABC 中，D为BC 中点，E为AD 中点，则以下结论：①存在△ABC，使得

＝0；②存在△ABC，使得 ∥（ +）；它们的成立情况是（　　）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

【分析】设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量数量的坐标运

算即可判断①；F为AB 中点，可得（ +）＝2，由 D为BC 中点，可得 CF 与AD 的交点即为重

心G，从而可判断②

【解答】解：不妨设 A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），

①＝（﹣1 2﹣x，﹣2y），＝（x1﹣，y），

若＝0，则﹣（1+2x）（x1﹣）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x1﹣）＝2y2，

满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；

②F为AB 中点，（ +）＝2，CF 与AD 的交点即为重心 G，

因为 G为AD 的三等分点，E为AD 中点，

所以与不共线，即②不成立．

故选：B．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．

二．填空题（共 7小题）

2．（2021•上海）如图正方形 ABCD 的边长为 3，求 • ＝　 9 　．

【分析】根据，直接求解即可．

【解答】解：由数量积的定义，可得，

因为，所以＝9．

故答案为：9．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．

3．（2022•上海）已知在△ABC 中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC 的外接圆半径为　　．

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．

【解答】解：在△ABC 中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，

利用余弦定理 BC2＝AC2+AB22﹣AB•AC•cosA，整理得 BC＝，

所以，解得 R＝．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于

基础题．

4．（2020•上海）三角形 ABC 中，D是BC 中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝　　．

【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积

的运算即可．

【解答】解：∵在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，

∴由余弦定理得，＝，

∴ ，且 D是BC 的中点，

∴

＝

＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算

及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

5．（2022•上海）若平面向量| |＝| |＝| |＝λ，且满足 • ＝0， • ＝2， • ＝1，则 λ＝　　．

【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．

【解答】解：由题意，有 • ＝0，则，设＜＞＝θ，

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