《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题07导数及其应用必考题型分类训练（解析版）

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专题 07 导数及其应用必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．填空题（共 1小题）

1．（2022•上海）已知函数 y＝f（x）为定义域为 R的奇函数，其图像关于 x＝1对称，且当 x∈（0，1]时，

f（x）＝lnx，若将方程 f（x）＝x+1 的正实数根从小到大依次记为 x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣

xn）＝　 2 　．

【分析】f（x）是周期为 4的周期函数，作出图像，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的

距离，由此能求出结果．

【解答】解：∵函数 y＝f（x）为定义域为 R的奇函数，其图像关于 x＝1对称，且当 x∈（0，1]时，

f（x）＝lnx，

∴f（x）是周期为 4的周期函数，图像如图：

将方程 f（x）＝x+1 的正实数根从小到大依次记为 x1，x2，x3，…，xn，

则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离 2，

∴ （xn+1﹣xn）＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题．

二．解答题（共 1小题）

2．（2022•上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．

（1）若将函数 f（x）图像向下移 m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数 a，m的值．

（2）若 a＞﹣3且a≠0，求解不等式 f（x）≤f（6﹣x）．

【分析】（1）写出函数图像下移 m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出 m和a的值．

（2）不等式化为 log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，写出等价不等式组，求出解集即

可．

【解答】解：（1）因为函数 f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x），

将函数 f（x）图像向下移 m（m＞0）后，得 y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像，

由函数图像经过点（3，0）和（5，0），

所以，

解得 a＝﹣2，m＝1．

（2）a＞﹣3且a≠0 时，不等式 f（x）≤f（6﹣x）可化为 log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）

+log3x，

等价于，

解得，

当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，

当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得 3≤x＜6；

综上知，﹣3＜a＜0时，不等式 f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，

a＞0时，不等式 f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档

题．

【三年自主招生练】

一．选择题（共 3小题）

1．（2022•上海自主招生），f（x）在（3，f（3））处切线方程为（

　）

A．2x+y+9＝0 B．2x+y9﹣＝0 C．﹣2x+y+9＝0 D．﹣2x+y9﹣＝0

【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出 f'（3）＝﹣2，再结合直线的点斜式公式，即可求

解．

【解答】解：∵ ，令△x＝x2﹣，

∴ ＝，解得 f'（3）＝﹣2，

∴f（x）在（3，f（3））处切线方程为 y3﹣＝﹣2（x3﹣），即 2x+y9﹣＝0．

故选：B．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．

2．（2022•上海自主招生）等比数列＝（　　）

A．不存在 B．C．D．﹣2

【分析】运用等比数列前 n项和公式求 Sn，再求极限即可．

【解答】解：∵等比数列{an}，a1＝﹣3，＝，

∴ ＝，解得，q＝﹣ ，Sn＝，

∴ ＝﹣2．

故选：D．

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