《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题03 幂指对函数必考题型分类训练（解析版）

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专题 03 幂指对函数必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．选择题（共 1小题）

1．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（　　）

A．f（x）＝x2B．f（x）＝sinxC．f（x）＝2xD．f（x）＝1

【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．

【解答】解：选项 A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，

选项 B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，

选项 C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，

选项 D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，

故选：C．

【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础

题．

二．填空题（共 5小题）

2．（2021•上海）已知 f（x）＝ +2，则 f1﹣（1）＝　﹣ 3 　．

【分析】利用反函数的定义，得到 f（x）＝1，求解 x的值即可．

【解答】解：因为 f（x）＝ +2，

令f（x）＝1，即 +2＝1，解得 x＝﹣3，

故f1﹣（1）＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，

考查了运算能力，属于基础题．

3．（2021•上海）若方程组无解，则＝　 0 　．

【分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．

【解答】解：对于方程组，有，

根据题意，方程组无解，

所以 D＝0，即，

故答案为：0．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之

间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．

4．（2020•上海）已知函数 f（x）＝x3，f1﹣（x）是 f（x）的反函数，则 f1﹣（x）＝　 x ， x ∈ R 　．

【分析】由已知求解 x，然后把 x与y互换即可求得原函数的反函数．

【解答】解：由 y＝f（x）＝x3，得 x＝，

把x与y互换，可得 f（x）＝x3的反函数为 f1﹣（x）＝．

故答案为：．

【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．

5．（2020•上海）已知 f（x）＝，其反函数为 f1﹣（x），若 f1﹣（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则 a

的取值范围为　 [ ， +∞ ）　．

【分析】因为 y＝f1﹣（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数若 y＝f1﹣（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根⇒y

＝f（x+a）与 y＝x有交点⇒方程，有根．进而得出答案．

【解答】解：因为 y＝f1﹣（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，

若y＝f1﹣（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，

则y＝f（x+a）与 y＝x有交点，

所以，

即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+ ≥ ，

故答案为：[，+∞）．

【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．

6．（2022•上海）设函数 f（x）＝x3的反函数为 f1﹣（x），则 f1﹣（27）＝　 3 　．

【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．

【解答】解：函数 f（x）＝x3的反函数为 f1﹣（x），

整理得；

所以 f1﹣（27）＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于

基础题．

【三年自主招生练】

一．选择题（共 1小题）

1．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函数为 g（x），（g（x2））2＝1的根有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由（g（x2））2＝1求得 g（x2）＝±1，根据反函数的定义列方程求解即可．

【解答】解：因为（g（x2））2＝1，所以 g（x2）＝±1，

当g（x2）＝1时，f（1）＝1+2+1+3＝7，令 x2＝7，解得 x＝±；

当g（x2）＝﹣1时，f（﹣1）＝1 2+1+3﹣1﹣＝，令 x2＝，解得 x＝±；

所以方程（g（x2））2＝1的根有 4个．

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