《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题02 函数的概念与性质必考题型分类训练（解析版）

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专题 02 函数的概念与性质必考题型分类训练
【三年高考真题练】
一．选择题（共 2小题）
1．（2022•上海）下列函数定义域为 R的是（　　）
A．y＝B．y＝x1﹣C．y＝D．y＝
【分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】解： ，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为 R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为 R的是 ．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　）
A．y＝﹣3xB．y＝x3C．y＝log3xD．y＝3x
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；
因为 y＝x3在R上是增函数，B不符合题意；
y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
二．填空题（共 1小题）
3．（2020•上海）若函数 y＝a•3x+为偶函数，则 a＝　 1 　 ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 a•3（﹣x）+＝a•3x+，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 y＝a•3x+为偶函数，则 f（﹣x）＝f（x），
即a•3（﹣x）+＝a•3x+，
变形可得：a（3x3﹣﹣x）＝（3x3﹣﹣x），
必有 a＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
三．解答题（共 3小题）
4．（2020•上海）已知非空集合 A⊆R，函数 y＝f（x）的定义域为 D，若对任意 t∈A且x∈D，不等式
f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数 f（x）具有 A性质．
（1）当 A＝{ 1}﹣，判断 f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有 A性质；
（2）当 A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若 f（x）具有 A性质，求 a的取值范围；
（3）当 A＝{ 2﹣，m}，m∈Z，若 D为整数集且具有 A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 m的
值．
【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；
（2）依题意， 为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；
（3）根据条件，分 m≤0，m为正偶数和 m为正奇数三种情况，求出条件的 m的值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x为减函数，
∴f（x）＜f（x1﹣），
∴f（x）＝﹣x具有 A性质；
∵g（x）＝2x为增函数，
∴g（x）＞g（x1﹣），
∴g（x）＝2x不具有 A性质；
（2）依题意，对任意 t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成立，
∴ 为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得 a≥1，
当a≥1 时，函数单调递增，满足对任意 t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成立，
综上，实数 a的取值范围为[1，+∞）．
（3）∵D为整数集，具有 A性质的函数均为常值函数，
当m≤0 时，取单调递减函数 f（x）＝﹣x，两个不等式恒成立，但 f（x）不为常值函数；
当m为正偶数时，取 ，两个不等式恒成立，但 f（x）不为常值函数；
当m为正奇数时，根据对任意 t∈A且x∈D，不等式 f（x）≤f（x+t）恒成立，
可得 f（x﹣m）≤f（x）≤f（x+m）≤f（x+1）≤f（x1﹣）≤f（x﹣m），
则f（x）＝f（x+1），所以 f（x）为常值函数，
综上，m为正奇数．
【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，
属于中档题．
5．（2021•上海）已知函数 f（x）＝ ﹣x．
（1）若 a＝1，求函数的定义域；
（2）若 a≠0，若 f（ax）＝a有2个不同实数根，求 a的取值范围；
（3）是否存在实数 a，使得函数 f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范围．
【分析】（1）把 a＝1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0求解绝对值的不等式得答案；
（2）f（ax）＝a⇔，设 ax+a＝t≥0，得 a＝t﹣t2，t≥0，求得等式右边关于 t的函数的值
域可得 a的取值范围；
（3）分 x≥﹣a与x＜﹣a两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 f（x）在定义域内具有单调性的 a
的范围．
【解答】解：（1）当 a＝1时，f（x）＝ ，
由|x+1| 1≥0﹣，得|x+1|≥1，解得 x≤ 2﹣或x≥0．
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2] [0∪，+∞）；
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