《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题01 集合与不等式必考题型分类训练（解析版）

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专题 01 集合与不等式必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．选择题（共 7小题）

1．（2022•上海）若集合 A＝[ 1﹣，2），B＝Z，则 A∩B＝（　　）

A．{ 2﹣，﹣1，0，1} B．{ 1﹣，0，1} C．{ 1﹣，0} D．{ 1}﹣

【分析】根据集合的运算性质计算即可．

【解答】解：∵A＝[ 1﹣，2），B＝Z，

∴A∩B＝{ 1﹣，0，1}，

故选：B．

【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．

2．（2022•上海）若 a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）

A．a+d＞b+cB．a+c＞b+dC．ac＞bd D．ad＞bc

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．

【解答】解：对于 A，令 a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足 a＞b＞c＞d，但 a+d＝b+c，故 A错误，

对于 B，∵a＞b＞c＞d，即 a＞b，c＞d，

∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故 B正确，

对于 C，令 a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足 a＞b＞c＞d，但 ac＝bd，故 C错误，

对于 D，令 a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足 a＞b＞c＞d，但 ad＜bc，故 D错误．

故选：B．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．

3．（2020•上海）命题 p：存在 a∈R且a≠0，对于任意的 x∈R，使得 f（x+a）＜f（x）+f（a）；

命题 q1：f（x）单调递减且 f（x）＞0恒成立；

命题 q2：f（x）单调递增，存在 x0＜0使得 f（x0）＝0，

则下列说法正确的是（　　）

A．只有 q1是p的充分条件

B．只有 q2是p的充分条件

C．q1，q2都是 p的充分条件

D．q1，q2都不是 p的充分条件

【分析】对于命题 q1：当 a＞0时，结合 f（x）单调递减，可推出 f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题

q1是命题 p的充分条件．对于命题 q2：当 a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合 f（x）单调递增，推出

f（x+a）＜f（x），进而 f（x+a）＜f（x）+f（a），命题 q2都是 p的充分条件．

【解答】解：对于命题 q1：当 f（x）单调递减且 f（x）＞0恒成立时，

当a＞0时，此时 x+a＞x，

又因为 f（x）单调递减，

所以 f（x+a）＜f（x）

又因为 f（x）＞0恒成立时，

所以 f（x）＜f（x）+f（a），

所以 f（x+a）＜f（x）+f（a），

所以命题 q1⇒命题 p，

对于命题 q2：当 f（x）单调递增，存在 x0＜0使得 f（x0）＝0，

当a＝x0＜0时，此时 x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，

又因为 f（x）单调递增，

所以 f（x+a）＜f（x），

所以 f（x+a）＜f（x）+f（a），

所以命题 p2⇒命题 p，

所以 q1，q2都是 p的充分条件，

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．

4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是（　　）

A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥ 2﹣ab C．a+b≥2 D．a2+b2≤ 2﹣ab

【分析】利用（a+b）2≥0 恒成立，可直接得到 a2+b2≥ 2﹣ab 成立，通过举反例可排除 ACD．

【解答】解：A．显然当 a＜0，b＞0时，不等式 a2+b2≤2ab 不成立，故 A错误；

B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥ 2﹣ab，故 B正确；

C．显然当 a＜0，b＜0时，不等式 a+b≥2 不成立，故 C错误；

D．显然当 a＞0，b＞0时，不等式 a2+b2≤ 2﹣ab 不成立，故 D错误．

故选：B．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．

5．（2022•上海）若实数 a、b满足 a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（　　）

A．a+b＞2 B．a+b＜2 C．+2b＞2 D．+2b＜2

【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．

【解答】解：因为 a＞b＞0，所以 a+b≥2 ，当且仅当 a＝b时取等号，

又a＞b＞0，所以 a+b，故 A正确，B错误，

＝2，当且仅当，即 a＝4b时取等号，故 CD 错误，

故选：A．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．

6．（2021•上海）已知集合 A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x2≥0﹣，x∈R}，则下列关系中，正确的是（

）

A．A⊆BB．∁RA⊆∁RBC．A∩B＝∅D．A∪B＝R

【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．

【解答】解：已知集合 A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x2≥0﹣，x∈R}，

解得 B＝{x|x≥2 或x≤ 1﹣，x∈R}，

∁RA＝{x|x≤ 1﹣，x∈R}，∁RB＝{x| 1﹣＜x＜2}；

则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，

故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

7．（2021•上海）已知两两不相等的 x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；

②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（　　）

A．2x2＜x1+x3B．2x2＞x1+x3C．x22＜x1x3D．x22＞x1x3

【分析】设，，，根据题意，则有，可得 x1+x32﹣x2＝2b﹣

（a+c），通过求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得 x1+x32﹣x2＝2b﹣（a+c）＞0，可得 A正确，B错误；利

用作差法可得 x1x3﹣x22＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因无法知道 m的正负，

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