《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第20讲 空间向量与立体几何（解析版）

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第 20 讲 空间向量与立体几何
【考点梳理与解题技巧】
一．空间中的点的坐标
【知识点的知识】
1、在 x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面 xOy，xOz，yOz 内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点 P（a，b，c）关于 x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于 y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于 z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面 xOy 的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面 xOz 的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面 yOz 的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3、已知空间两点 P1（x1，y1，z1） ， P2（x2，y2，z2）则线段 P1P2的中点坐标为（
）
二．空间两点间的距离公式
【知识点的知识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点 P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为 ，
特殊地，点 A（x，y，z）到原点 O的距离为 ．
三．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为| |，| |
特别地：
①规定长度为 0的向量为零向量，记作 ；
②模为 1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如 的相反向量记为﹣ ．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定 与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为 1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向
量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律： ．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数 λ与空间向量 的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时， 与 的方向相同；
②当λ＜0时， 与 的方向相反；
③当λ＝0时， ＝ ．
④|λ|＝|λ|•| |
的长度是 的长度的|λ|倍．
2．运算律
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