《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第18讲 复数的性质及应用（解析版）

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第 18 讲 复数的性质及应用
【考点梳理】
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念
形如 a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复
数，其中实部为 a，虚部为 b
若b＝0，则 a＋bi为实数；若 a＝0
且b≠0，则 a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a ＝ c
且
b ＝
d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a ＝ c
且
b ＝－
d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平
面叫做复平面，x
轴 叫实轴，y轴叫
虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点
外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象
限内的点都表示虚数
复数的模
设OZ对应的复数为 z＝a＋bi，则向
量OZ的长度叫做复数 z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集 C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C与复平面内所有以原点 O为起点的向量
组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【解题方法和技巧】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把
复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数 z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作一类同类项，
不含 i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i的幂写成最
简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b∈R)的
形式，再结合相关定义解答.
(4) 复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋
bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【考点剖析】
【考点 1】虚数单位 i、复数（共 6小题）
1．（2021 秋•杨浦区校级期末）化简：i366+i384+i500＝　 1 　 ．
【分析】根据虚数单位 i，以及指数的运算即可求出．
【解答】解：∵i2＝﹣1，
∴i3＝﹣i，i4＝1
∴i366+i384+i500＝（i4）91•i2+（i4）96+（i4）125＝﹣1+1+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
2．（2022 春•闵行区校级月考）已知 z1，z2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）
①若|z1|≤1，则﹣1≤z1≤1；
②若z1＝，则∈R；
③若|z1|+|z2|＝0，则 z1＝z2＝0；
④若z1+z2是虚数，则 z1，z2都是虚数．
A．①④ B．②C．②③ D．①②③
【分析】根据复数的性质分别判断即可．
【解答】解：z1，z2为复数，
①若|z1|≤1，z没有大小，故﹣1≤z1≤1 是错误的，
②若z1＝，则∈R，正确，
③若|z1|+|z2|＝0，则 z1＝z2＝0，正确，
④若z1+z2是虚数，z1，z2不一定都是虚数，
比如：z1＝1 3﹣i，z2＝﹣1，故错误，
故②③正确，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的定义和性质，是基础题．
3．（2022•宝山区校级开学）以下四个关于复数的结论：
（1）任意两个复数不能比大小；
（2）z∈C⇒z2≥0；
（3）z1﹣z2＞0⇒z1＞z2；
（4）复数 a+bi＝c+di（a、b、c、d∈R）⇒a＝c且b＝d．
正确的序号是 　（ 4 ）　 ．
【分析】举反例可判断（1）、（2）、（3）为错误的，由复数的定义可判断（4）正确．
【解答】解：（1）任意两个复数不能比大小是错的，例如 2与3；
（2）z∈C⇒z2≥0 是错的，例如 z＝1+i；
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