《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第17讲 计数原理与概率统计（解析版）

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第 17 讲 计数原理与概率统计
【考点梳理】
一、两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有 n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，
……，在第 n类办法中有 mn种不同的方法.则完成这件事共有 N＝m1＋ m 2＋ … ＋ m n
种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一个步骤有 m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同的方
法，……，做第 n个步骤有 mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N＝m1× m 2×…× m n
种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独
立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，
只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
二、排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出
m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列
数.
(2)从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的组合
数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N+，且 m≤n).特别地 C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n ！ .
(2)C＝C；C＝C ＋ C
三、二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C a n
＋ C a n
－
1
b ＋ … ＋ C a n
－
r
b r
＋ … ＋ C b n
(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝C a n
－
r
b r
，它表示第 r ＋ 1
项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
增减性
二项式系
数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项 取得最大值
当n为奇数时，中间的两项 与 取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2 n
.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n
－
1
.
四、离散型随机变量及其分布列
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作 ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记
作Ω.
2.概率与频率
(1)概率定义：在 n次重复进行的试验中，事件 A发生的频率，当 n很大时，总是在某个常数附近摆动，随
2
C
n
n
1
2
C
n
n
1
2
C
n
n
着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记作 P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.
3.事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系
如果事件 A发生，则事件 B一定发生，这时称事件 B包
含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)
B ⊇ A
(或A⊆B)
相等关系 若B⊇A且A⊇B A ＝ B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A发生或事件 B发生，称此
事件为事件 A与事件 B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件
A
发生 且事件
B
发生 ，则称
此事件为事件 A与事件 B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件 A与事件 B互斥 A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件
A与事件 B互为对立事件
A∩B＝∅
P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .
(2)必然事件的概率 P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件 A与事件 B互斥，则 P(A∪B)＝P ( A ) ＋ P ( B ) .
②若事件 B与事件 A互为对立事件，则 P(A)＝1 － P ( B ) .
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有 n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是；如果某个事件 A包括的结果有 m个，那么事件 A的概率 P(A)＝.
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