《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第15讲 抛物线（原卷版）

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第 15 讲 抛物线
【考点梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F叫做抛物线的焦点，
定直线 l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点 M到准线 l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
性
质
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方
程
x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方
向
向右 向左 向上 向下
【解题方法和技巧】
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转
化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方
程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的
灵活应用．
【考点剖析】
【考点 1】抛物线的定义
一、单选题
1．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线 、 的焦点都为 ， 的准线方程为 ， 的准
线方程为 ， 与 相交于 M、N两点，则直线 MN 的方程为（）
A．B．C．D．
二、填空题
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上，
1
C
2
C
(2, 3)F
1
C0x
2
C
3 0x y 
1
C
2
C
3 0x y 
3 0x y 
0x y 
3 0x y 
F
2
4y x
 
1, 2,3, 4
i
P i
且 ，则 __________.
3．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线 上一点 M到其焦点的距离等于 2，则 M到其顶点的距离
等于__________.
4．（2020·上海·高三专题练习）已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点 的
坐标是 ，则当 时， 的最小值是______．
三、解答题
5．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知动点 P到定点 的距离比 P点到直线 的距离小
2，设动点 P的轨迹为曲线 C.过定点 的直线 与曲线 C交于 A､B两点.
(1)求曲线 C的方程；
(2)若点 E的坐标为 ，求证： ；
(3)是否存在实数 ，使得以 为直径的圆截直线 ： 所得弦长为定值？若存在，求出实数 的值；
若不存在，说明理由.
【考点 2】抛物线标准方程
一、单选题
1 2 3 4
0PF P F P F P F  
                                                       
1 2 3 4
PF P F P F P F  
                                          
2
4y x
P
2
4y x
P
y
M
A
(4, )a
| | 4a
| | | |PA PM
 
1,0F
3x 
 
,0 0D m m l
 
,0m
AED BED  
aAD
l
x a
a
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