《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第15讲 抛物线（解析版）

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第 15 讲 抛物线
【考点梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F叫做抛物线的焦点，
定直线 l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点 M到准线 l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
性
质
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方
程
x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方
向
向右 向左 向上 向下
【解题方法和技巧】
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转
化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方
程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的
灵活应用．
【考点剖析】
【考点 1】抛物线的定义
一、单选题
1．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线 、 的焦点都为 ， 的准线方程为 ， 的准
线方程为 ， 与 相交于 M、N两点，则直线 MN 的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可以判定 M,N到直线 的距离和到 y轴的距离相等，结合图形可知，
直线 MN 的倾斜角为 60°且经过原点.
【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得 M，N到直线 的距离和到 y轴的距离都等于到焦
点的距离，故 M,N到直线 的距离和到 y轴的距离相等，结合图形可知，直线 MN 是直线
与y轴的角平分线上的点，由于直线 是过原点且倾斜角为 30°的直线，由图可知，
直线 MN 的倾斜角为 60°，且经过坐标原点，故直线 MN 的方程为 ,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到 M,N直线 的距离和到 y轴的距
离相等.
二、填空题
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上，
且 ，则 __________.
【答案】8
【分析】计算 ，设 ，根据向量运算得到 ，再利用抛物线定义得到答案.
【详解】 是抛物线 的焦点，则 ，设 ，
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