《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第14讲 双曲线（解析版）

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第 14 讲 双曲线
【考点梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定
点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中 a，c为常数且 a>0，c>0：
(1)若a < c
时，则集合 P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合 P为两条射线；
(3)若a > c
时，则集合 P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性
质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Rx ∈ R ， y ≤ － a
或
y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫
做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴
长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a 2
＋ b 2
【解题方法和技巧】
1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||
PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心
率涉及的也比较多．由于 e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c的一个关系式，利用 b2＝c2
－a2消去 b，然后变形求 e，并且需注意 e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆
锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为 k(k≠0)的直线 l与圆锥曲线 C相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
，θ为弦 AB 所在直线的倾斜角)．
【考点剖析】
【考点 1】双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知 分别是双曲线 的左、右焦点，动点 P在双
曲线的左支上，点 Q为圆 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．D．5
【答案】A
【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径为 1， ， ，当
， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，而 ，所以 ．
故选：A
2．（2022·上海·高三专题练习）下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于 的方程 ( )的曲线是圆
B．设复数 是两个不同的复数，实数 ，则关于复数 的方程 的所有解在复平面
上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设 为两个不同的定点， 为非零常数，若 ，则动点 的轨迹为双曲线的一支
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