《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第13讲 椭圆（解析版）

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第 13 讲 椭圆
【考点梳理】
1.椭圆的定义
平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c为常数：
(1)若a ＞ c ，则集合 P为椭圆；
(2)若a ＝ c ，则集合 P为线段；
(3)若a ＜ c ，则集合 P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长轴 A1A2的长为 2 a ；短轴 B1B2的长为 2 b
焦距 |F1F2|＝2 c
离心率 e＝∈(0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝a 2
－ b 2
【解题方法和技巧】
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免
了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐
标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定
量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定 a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的
标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)
3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解
参数、计算弦长、表达函数.
4.求椭圆离心率的 3种方法
(1)直接求出 a，c来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，c的值．
(2)构造 a，c的齐次式，解出 e.由已知条件得出关于 a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e的一
元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【考点剖析】
【考点 1】椭圆的定义
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）如图，已知椭圆 C的中心为原点 O， 为 C的左焦点，P为C上
一点，满足 ，且 ，则椭圆 C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取椭圆的右焦点 ，连接 ，由平面几何的知识可得 ，进而可得 ，由椭
圆的定义可得 、 ，即可得解.
【详解】由题意可得该椭圆的半焦距 ，设椭圆 C的方程为 ，
取椭圆的右焦点 ，连接 ，如图，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
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