《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第12讲 直线和圆的方程（解析版）

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第 12 讲 直线和圆的方程
【考点梳理】
一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：
x
轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与
x
轴平行或重合的直线的倾
斜角为零度角.
(2)规定：当直线
l
与
x
轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0；
(3)范围：直线的倾斜角
α
的取值范围是[0 ， π) .
2.直线的斜率
(1)定义：直线
y
＝
kx
＋
b
中的系数
k
叫做这条直线的斜率，垂直于
x
轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)确定的直线不垂直于
x
轴，则
k
＝(
x
1≠
x
2).若直线的倾斜角为
θ
(
θ
≠)，则
k
＝tan__
θ
.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率
y
＝
kx
＋
b
与
x
轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率
y
－
y
0＝
k
(
x
－
x
0)
两点式 过两点 ＝
与两坐标轴均不垂直的直
线
截距式 纵、横截距 ＋＝ 1
不过原点且与两坐标轴均
不垂直的直线
一般式
Ax
＋
By
＋
C
＝0 所有直线
(
A
2＋
B
2≠0)
二、两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线
l
1，
l
2，其斜率分别为
k
1，
k
2，则有
l
1∥
l
2⇔
k
1＝
k
2.特别地，当直线
l
1，
l
2的斜率都
不存在时，
l
1与
l
2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线
l
1，
l
2斜率都存在，设为
k
1，
k
2，则
l
1⊥
l
2⇔
k
1·
k
2＝－ 1 ，当一条直线斜率为零，另一条直
线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线
l
1：
A
1
x
＋
B
1
y
＋
C
1＝0 和
l
2：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2＝0 的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点
P
1(
x
1，
y
1)，
P
2(
x
2，
y
2)间的距离公式为|
P
1
P
2|＝.
特别地，原点
O
(0，0)与任一点
P
(
x
，
y
)的距离|
OP
|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点
P
0(
x
0，
y
0)到直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0 的距离
d
＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线
l
1：
Ax
＋
By
＋
C
1＝0，
l
2：
Ax
＋
By
＋
C
2＝0 间的距离
d
＝.
三、圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准 (
x
－
a
)2＋(
y
－
b
)2＝
r
2(
r
＞0)
圆心
C
(
a
，
b
)
半径为
r
一般
x
2＋
y
2＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0
(
D
2＋
E
2－4
F
＞0)
充要条件：
D
2
＋
E
2
－
4
F
＞
0
圆心坐标：
半径
r
＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点
M
(
x
0，
y
0)与圆
C
：(
x
－
a
)2＋(
y
－
b
)2＝
r
2之间存在着下列关系：
(1)|
MC
|＞
r
⇔
M
在圆外，即(
x
0－
a
)2＋(
y
0－
b
)2＞
r
2⇔
M
在圆外；
(2)|
MC
|＝
r
⇔
M
在圆上，即(
x
0－
a
)2＋(
y
0－
b
)2＝
r
2⇔
M
在圆上；
(3)|
MC
|＜
r
⇔
M
在圆内，即(
x
0－
a
)2＋(
y
0－
b
)2＜
r
2⇔
M
在圆内.
四、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆
C
：(
x
－
a
)2＋(
y
－
b
)2＝
r
2，直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0，圆心
C
(
a
，
b
)到直线
l
的距离为
d
，由
消去
y
(或
x
)，得到关于
x
(或
y
)的一元二次方程，其判别式为
Δ
.
方法位置
关系
几何法 代数法
相交
d
<
r Δ
>0
相切
d
＝
r Δ
＝0
相离
d
>
r Δ
<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为
R
，
r
，
R
＞
r
，圆心距为
d
，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
d
＞
R
＋
r d
＝
R
＋
r
R
－
r
＜
d
＜
R
＋
r
d
＝
R
－
r d
＜
R
－
r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【解题方法和技巧】
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率 k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2.已知两直线的一般方程
两直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数 A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关
系：
A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.
3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：
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