《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第11讲 平面向量（解析版）

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第 11 讲 平面向量
【考点梳理】
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度
(或模) 如
a
，
AB
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作 0
单位向量 给定一个非零向量
a
，与
a
同向且模为 1 的向量，叫
做向量
a
的单位向量，可记作
a
0
a
0＝
共线(平
行)向量
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共
线或平行
向量
a
与
b
平行记作
a
∥
b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向
量如
AB
＝
a
相反向量 与向量
a
反向且等长的向量，叫做
a
的相反向量 记作－
a
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a
＋
b
＝
b
＋
a
.
(2)结合律：
(
a
＋
b
)＋
c
＝
a
＋
(
b
＋
c
)
减法
减去一个向量相当于
加上这个向量的相反
向量
a
－
b
＝
a
＋(－
b
)
数乘
求实数
λ
与向量
a
的积的运算
(1)|
λa
|＝|
λ
||
a
| ；
(2)当
λ
＞0 时，
λa
的方
向与
a
的方向相同；当
λ
＜0 时，
λa
的方向与
a
的
方向相反；当
λ
＝0
时，
λa
＝0
λ
(
μa
)＝
λμ a
；
(
λ
＋
μ
)
a
＝
λ a
＋
μ a
；
λ
(
a
＋
b
)＝
λ a
＋
λ b
3.共线向量定理
向量
a
(
a
≠0)与
b
共线的充要条件是存在唯一一个实数
λ
，使得
b
＝
λ a
.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果
e
1和
e
2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量
a
，存在唯一的一对实数
a
1，
a
2，
使
a
＝
a
1
e
1＋
a
2
e
2.
其中，不共线的向量
e
1，
e
2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{
e
1，
e
2}.
a
1
e
1＋
a
2
e
2叫做向量
a
关于基底{
e
1，
e
2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设
a
＝(
x
1，
y
1)，
b
＝(
x
2，
y
2)，则
a
＋
b
＝(
x
1＋
x
2，
y
1＋
y
2)，
a
－
b
＝(
x
1－
x
2，
y
1－
y
2)，
λa
＝(
λx
1，
λy
1)，|
a
|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)，则
AB
＝(
x
2－
x
1，
y
2－
y
1)，|
AB
|＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设
a
＝(
x
1，
y
1)，
b
＝(
x
2，
y
2)，则
a
∥
b
⇔
x
1
y
2－
x
2
y
1＝ 0 .
三、平面向量的数量积及其应用
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量
a
和
b
，作
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，则∠
AOB
称作向量
a
和向量
b
的夹角，记作
〈
a
，
b
〉.
(2)范围：向量夹角〈
a
，
b
〉的范围是[0 ， π] ，且〈
a
，
b
〉 ＝〈
b
，
a
〉.
(3)向量垂直：如果〈
a
，
b
〉＝，则
a
与
b
垂直，记作
a⊥b
.
2.向量在轴上的正射影
已知向量
a
和轴
l
(如图)，作
OA
＝
a
，过点
O
，
A
分别作轴
l
的垂线，垂足分别为
O
1，
A
1，则向量
O1A1
叫做向
量
a
在轴
l
上的正射影(简称射影)，该射影在轴
l
上的坐标，称作
a
在轴
l
上的数量或在轴
l
的方向上的数
量.
OA
＝
a
在轴
l
上正射影的坐标记作
al
，向量
a
的方向与轴
l
的正向所成的角为
θ
，则由三角函数中的余弦
定义有
al
＝|
a
|cos
θ
.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|
a
||
b
|cos〈
a
，
b
〉叫做向量
a
和
b
的数量积(或内积)，记作
a
·
b
，即
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos〈
a
，
b
〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量
a
＝(
x
1，
y
1)，
b
＝(
x
2，
y
2)，
θ
为向量
a
，
b
的夹角.
①数量积：
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos
θ
＝
x
1
x
2＋
y
1
y
2.
②模：|
a
|＝＝.
③夹角：cos
θ
＝＝.
④两非零向量
a
⊥
b
的充要条件：
a
·
b
＝0⇔
x
1
x
2＋
y
1
y
2＝0.
⑤|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|(当且仅当
a
∥
b
时等号成立)⇔|
x
1
x
2＋
y
1
y
2|≤ ·.
4.平面向量数量积的运算律
(1)
a
·
b
＝
b
·
a
(交换律).
(2)
λa
·
b
＝
λ
(
a
·
b
)＝
a
·(
λb
)(结合律).
(3)(
a
＋
b
)·
c
＝
a
·
c
＋
b
·
c
(分配律).
【解题方法和技巧】
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