《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第10讲 数学归纳法与数列综合应用（解析版）

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第 10 讲 数学归纳法与数列综合应用
【考点梳理】
一、数学归纳法
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
(1) (归纳奠基)证明当
n
取第一个值
n
0 (
n
0∈N*)时命题成立；
(2) (归纳递推)假设
n
＝
k
(
k
≥
n
0，
k
∈N*)时命题成立，证明当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0开始的所有正整数
n
都成立.
注意：①应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。
②由
k
到
k
+1 的证明，实际问题中由
k
到
k
+1 的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌
握由
k
到
k
+1 的推论方法，在运用归纳假设时，应分析
P
(
k
)与
P
(
k
+1)的差异及联系。利用拆、添、并、放、
缩等手段，或从归纳假设出发；或从
P
(
k
+1)从分离出
P
(
k
)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合
点”，以便顺利过渡。
3、用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法；用数
学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，常常需要运
用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几
何问题，常常要运用几何图形的性质。
二、归纳——猜想——论证
“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归
纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法．
理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊
到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳
法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．
三、数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或
减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定
的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑
an
与
an
＋
1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者
Sn
与
Sn
＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【解题方法和技巧】
1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：
（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前
n
项和；分析等差、等比数
列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等
价转化”等．
4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的
通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利
用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读
懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类
型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对
＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起
来，利用已有的知识经验来解决问题.
6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法
等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题
时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合
法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
【考点剖析】
【考点 1】数学归纳法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式 （ ， ）
的过程中，由 到 时，左边增加了（SSSSSSS）
A．1 项 B．
k
项C． 项 D． 项
【答案】D
【分析】得 和 时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数.
【详解】当 时，不等式左边的最后一项为 ，而当 时，最后一项为 ，
并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加 ，所以增加了项.
故选：D
2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）用数学归纳法证明 时，
第一步应验证不等式（SSSSSSS）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取 即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当 时，不等式为 ．
故选：B．
二、多选题
3．（2022·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明 对任意 都成立，则以下
满足条件的 的值为（SSSSSSS）
A．B．C．D．
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