《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第08讲 等差、等比数列（解析版）

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第 08 讲 等差、等比数列
【考点梳理】
一、数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数
有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an
＋1＞
an
其中
n
∈N+
递减数列
an
＋1＜
an
常数列
an
＋1＝
an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{
an
}的第
n
项
an
与
n
之间的关系可以用一个式子
an
＝
f
(
n
)来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{
an
}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项
an
与它的前一
项
an
－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
二、等差数列及其前
n
项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：
an
＋1－
an
＝
d
(
n
∈N+，
d
为常数).
(2)如果三个数
x
，
A
，
y
组成等差数列，那么
A
叫做
x
和
y
的等差中项，且
A
＝.
2.等差数列的通项公式与前
n
项和公式
(1)若等差数列{
an
}的首项是
a
1，公差是
d
，则其通项公式为
an
＝
a
1＋ (
n
－ 1)
d
.
(2)前
n
项和公式：
Sn
＝
na
1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：
an
＝
am
＋(
n
－
m
)
d
(
n
，
m
∈N+).
(2)若{
an
}为等差数列，且
k
＋
l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈N+)，则
ak
＋
a
l
＝
a
m
＋
a
n
.
(3)若{
an
}是等差数列，公差为
d
，则
ak
，
ak
＋
m
，
ak
＋2
m
，…(
k
，
m
∈N+)是公差为
md
的等差数列.
(4)若
Sn
为等差数列{
an
}的前
n
项和，则数列
Sm
，
S
2
m
－
Sm
，
S
3
m
－
S
2
m
，…也是等差数列.
(5)若
Sn
为等差数列{
an
}的前
n
项和，则数列也为等差数列.
三、等比数列及其前
n
项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数
列.
数学语言表达式：＝
q
(
n
≥2，
q
为非零常数).
(2)如果三个数
x
，
G
，
y
组成等比数列，则
G
叫做
x
和
y
的等比中项，其中
G
＝±.
2.等比数列的通项公式及前
n
项和公式
(1)若等比数列{
an
}的首项为
a
1，公比是
q
，则其通项公式为
an
＝
a
1
q n
－
1
；
通项公式的推广：
an
＝
amqn
－
m
.
(2)等比数列的前
n
项和公式：当
q
＝1 时，
Sn
＝
na
1；当
q
≠1 时，
Sn
＝＝.
3.等比数列的性质
已知{
an
}是等比数列，
Sn
是数列{
an
}的前
n
项和.
(1)若
k
＋
l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈N+)，则有
ak
·
al
＝
am
·
a
n
.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
ak
，
ak
＋
m
，
ak
＋2
m
，…仍是等比数列，公比为
q m
.
(3)当
q
≠－1，或
q
＝－1 且
n
为奇数时，
Sn
，
S
2
n
－
Sn
，
S
3
n
－
S
2
n
，…仍成等比数列，其公比为
q n
.
【解题方法和技巧】
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于 n≥2 的任意自然数，验证 an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证 an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn.
注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若 ＝q(q为非零常数)或 ＝q(q为非零常数且 n≥2 且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q均是不为 0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(
n
－ m
)
d
(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q，
则am＋ a
n＝ a
p＋ a
q(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md
的等差数列．
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则 S偶－S奇＝ ；
若n为奇数，则 S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·q n
－
m
，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则 ak· a l＝ a
m· a n.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， ，{a}，{an·bn}， 仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 q n
.
5.等差数列的前 n项和公式
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