《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第07讲 三角函数图像与性质（解析版）

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第 07 讲 三角函数图像与性质
【考点梳理】
一、 三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数
y
＝sin
x
，
x
∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数
y
＝cos
x
，
x
∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π ，－ 1) ，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中
k
∈Z)
函数
y
＝sin
x y
＝cos
x y
＝tan
x
图象
定义域 R R {
x x
≠
k
π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2
k
π － π ， 2
k
π]
递减区间 [2
k
π ， 2
k
π ＋ π] 无
对称中心 (
k
π ， 0)
对称轴方程
x
＝
k
π
＋
x
＝
k
π
无
二、 函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的图象与性质
1.用五点法画
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－ －＋ －
ωx
＋
φ
0 π 2π
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
) 0
A
0 －
A
0
2.函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的有关概念
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)(
A
＞0，
ω
＞
0)，
x
∈[0，＋∞)表示一个振动量
时
振幅 周期 频率 相位 初相
A T
＝
f
＝＝
ωx
＋
φ φ
3.函数
y
＝sin
x
的图象经变换得到
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变
电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型
f
(
x
)＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
k
中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数
f
(
x
)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
【解题方法和技巧】
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t＝ωx＋
φ，将其转化为研究 y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x而言，而不是看角 ωx＋φ的变化.
5.由图象确定函数解析式
解决由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定 A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作
为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特
殊量和特殊点.
【考点剖析】
【考点 1】正切函数
一、单选题
1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可
得正确选项.
【详解】对于 A： 为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项 A不正确；
对于 B： 为奇函数，在 上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项 B
不正确；
对于 C： 既不是奇函数也不是偶函数，故选项 C不正确；
对于 D： ，所以 是奇函数，因为 和 都是 上
的增函数，所以 在定义域上是增函数，故选项 D正确；
故选：D.
2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为 的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
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