《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第06讲 任意角三角函数、诱导公式及恒等式（原卷版）
第 06 讲 任意角三角函数、诱导公式及恒等式
【考点梳理】
一、任意角的三角函数
(1)定义：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝( x ≠ 0) .
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点都是
原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α的正弦线、余弦线和正切线.
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2
α
＋ cos 2
α
＝ 1 .
(2)商数关系：＝ tan __
α
.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2
k
π＋
α
(
k
∈Z) π＋
α
－
α
π－
α
－
α
＋
α
正弦 sin
α
－ sin __
α
－ sin __
α
sin__
α
cos__
α
cos__
α
余弦 cos
α
－ cos __
α
cos__
α
－ cos __
α
sin__
α
－ sin __
α
正切 tan
α
tan__
α
－ tan __
α
－ tan __
α
口诀 函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象
限
三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(
α
±
β
)＝sin__
α
cos
__
β
±cos
__
α
sin
__
β
.
cos(
α
∓
β
)＝cos__
α
cos
__
β
±sin
__
α
sin
__
β
.
tan(
α
±
β
)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2
α
＝2sin__
α
cos
__
α
.
cos 2
α
＝cos 2
α
－ sin 2
α
＝2cos 2
α
－ 1 ＝1 － 2sin 2
α
.
tan 2
α
＝.
3.函数
f
(
α
)＝
a
sin
α
＋
b
cos
α
(
a
，
b
为常数)，可以化为
f
(
α
)＝sin(
α
＋
φ
)或
f
(
α
)＝·cos(
α
－
φ
).
[名师提醒]
1.tan
α
±tan
β
＝tan(
α
±
β
)(1∓tan
α
tan
β
).
2.cos2
α
＝，sin2
α
＝.
3.1＋sin 2
α
＝(sin
α
＋cos
α
)2，1－sin 2
α
＝(sin
α
－cos
α
)2，
sin
α
±cos
α
＝sin.
四、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos __A；
b2＝c 2
＋ a 2
－ 2 ca cos __B；
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos __C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2 R sin __B，c＝2 R sin __C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
cos A＝；
cos B＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A ∶ sin __B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin
A
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
3.在△ABC 中，已知 a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>ba≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
五、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线
下方叫俯角(如图 1).
2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图 2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【解题方法和技巧】
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