《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第05讲 各类基本函数（原卷版）

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第 05 讲 各类基本函数
【考点梳理】
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)
.
顶点式：
f
(
x
)＝
a
(
x
－
m
)2＋
n
(
a
≠0)，顶点坐标为(
m
，
n
) .
零点式：
f
(
x
)＝
a
(
x
－
x
1)(
x
－
x
2)(
a
≠0)，
x
1，
x
2为
f
(
x
)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
>0)
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
<0)
图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴
x
＝－
顶点
坐标
奇偶性 当
b
＝0 时是偶函数，当
b
≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如
y
＝
x α
的函数称为幂函数，其中
x
是自变量，
α
为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当
α
>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当
α
<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是
a
＝(
a
>0，
m
，
n
∈N+，且
n
>1)；正数的负分数指数幂的意义是
a
－
＝(
a
>0，
m
，
n
∈N+，且
n
>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：
aras
＝
a r
＋
s
；(
ar
)
s
＝
a rs
；(
ab
)
r
＝
a r
b r
，其中
a
>0，
b
>0，
r
，
s
∈Q.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数
y
＝
ax
(
a
>0 且
a
≠1)叫做指数函数，其中指数
x
是自变量，函数的定义域是 R，
a
是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a
>1 0<
a
<1
图象
定义域 R
值域 (0 ，＋∞ )
性质 过定点(0 ， 1) ，即
x
＝0 时，
y
＝1
当
x
>0 时，
y
>1
； 当
x
<0 时，
y
>1
；
当
x
<0 时，0<
y
<1 当
x
>0 时，0<
y
<1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
5.对数的概念
一般地，对于指数式
ab
＝
N
，我们把“以
a
为底
N
的对数
b
”记作 log
aN
，即
b
＝log
aN
(
a
>0，且
a
≠1).其中，
数
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数，读作“
b
等于以
a
为底
N
的对数”.
6.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①
a
log
a
N
＝
N
；② log
aab
＝
b
(
a
>0，且
a
≠1).
(2)对数的运算法则
如果
a
>0 且
a
≠1，
M
>0，
N
>0，那么
① log
a
(
MN
)＝log
aM
＋
log
aN
；
② log
a
＝log
aM
－
log
aN
；
③ log
aMn
＝
n
log
aM
(
n
∈R)；
④ log
a
mMn
＝log
aM
(
m
，
n
∈R，且
m
≠0).
(3)换底公式：log
bN
＝
(
a
，
b
均大于零且不等于 1).
7.对数函数及其性质
(1)概念：函数
y
＝log
ax
(
a
＞0，且
a
≠1)叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a
>1 0<
a
<1
图象
性质
定义域：(0 ，＋∞ )
值域：R
当
x
＝1 时，
y
＝0，即过定点(1 ， 0)
当
x
>1 时，
y
>0；
当 0<
x
<1 时，
y
<0
当
x
>1 时，
y
<0；
当 0<
x
<1 时，
y
>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
8.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y
＝
ax
(
a
>1)
y
＝log
ax
(
a
>1)
y
＝
xn
(
n
>0)
在(0，＋∞) 单调递增 单调递增 单调递增
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