《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第04讲 函数最值与性质（原卷版）
第 04 讲 函数最值与性质
【考点梳理】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
A
，区间
M
⊆
A
，如果取区间
M
中任意两个值
x
1，
x
2，改变量 Δ
x
＝
x
2－
x
1>0，则当
Δ
y
＝
f
(
x
2) －
f
(
x
1)>0
时，就称
函数
y
＝
f
(
x
)在区间
M
上是增函
数
Δ
y
＝
f
(
x
2) －
f
(
x
1)<0
时，就称函数
y
＝
f
(
x
)在区间
M
上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间
M
上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间
M
上具有单调性，区间
M
称为单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足
条件
(1)对于任意
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤
M
；
(2)存在
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0)＝
M
(3)对于任意
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≥
M
；
(4)存在
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0) ＝
M
结论
M
为最大值
M
为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个
x
，都
有－
x
∈
D
，且
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数
y
＝
g
(
x
)的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个
x
，都
有－
x
∈
D
，且
g
(
－
x
)
＝
g
(
x
)
，则这个函数叫做偶函数 关于
y
轴
对称
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数
y
＝
f
(
x
)，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的任何值时，都有
f
(
x
＋
T
) ＝
f
(
x
) ，那么就称函数
y
＝
f
(
x
)为周期函数，称
T
为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数
f
(
x
)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f
(
x
)
的最小正周期.
【解题方法和技巧】
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应
用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
3.新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
【考点剖析】
【考点 1】函数的最值
题型一：利用函数单调性求最值或值域
一、解答题
1．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超
过千米 时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度 （千
米/时）的平方成正比，比例系数为 ，固定部分为 元.
(1)把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米 时）的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数 .
(1)设 的反函数为 ，求 的最值.
(2)函数 满足 ，求证：当 时， .
3．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知 ， .
(1)若 ，求 在区间 上的最小值（直接写出结论，结果用 表示）；
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