《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第03讲 函数及其性质（解析版）

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第 03 讲 函数及其性质
【考点梳理】
1.函数的概念
设
A
，
B
是两个非空数集，如果按照确定的法则
f
，对
A
中的任意数
x
，都有唯一确定的数
y
与它对应，那
么就称
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作
y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A
.
2.函数的定义域、值域
(1)函数
y
＝
f
(
x
)自变量取值的范围(数集
A
)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{
y
|
y
＝
f
(
x
)
，
x
∈
A
}
叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量
x
的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
A
，区间
M
⊆
A
，如果取区间
M
中任意两个值
x
1，
x
2，改变量 Δ
x
＝
x
2－
x
1>0，则当
Δ
y
＝
f
(
x
2) －
f
(
x
1)>0
时，就称
函数
y
＝
f
(
x
)在区间
M
上是增函
数
Δ
y
＝
f
(
x
2) －
f
(
x
1)<0
时，就称函数
y
＝
f
(
x
)在区间
M
上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间
M
上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间
M
上具有单调性，区间
M
称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足
条件
(1)对于任意
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≤
M
；
(2)存在
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0)＝
M
(3)对于任意
x
∈
I
，都有
f
(
x
)≥
M
；
(4)存在
x
0∈
I
，使得
f
(
x
0) ＝
M
结论
M
为最大值
M
为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个
x
，都
有－
x
∈
D
，且
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数
y
＝
g
(
x
)的定义域为
D
，如果对
D
内的任意一个
x
，都
有－
x
∈
D
，且
g
(
－
x
)
＝
g
(
x
)
，则这个函数叫做偶函数 关于
y
轴
对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数
y
＝
f
(
x
)，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域内的任何值时，都有
f
(
x
＋
T
) ＝
f
(
x
) ，那么就称函数
y
＝
f
(
x
)为周期函数，称
T
为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数
f
(
x
)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f
(
x
)
的最小正周期.
【解题方法和技巧】
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质
比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，
或不同类型的数常常借助中间值如 0 或 1 比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应
用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
【考点剖析】
【考点 1】函数及其表示
题型一:函数定义域
一、双空题
1．（2022·上海·高三专题练习）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数
为“同域函数”. 函数 的值域为_______
，
则与 是“同域函数”的一个解析式为_______
_____.
【答案】---- ---- ， 或者 （答案不唯一）
【分析】分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解
析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数
均符合题意．
【详解】解：因为 ，所以 且 ，所以函数的定义域为 ， ．
下面求函数 的值域，不妨先求函数 的值域，令，
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