《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第02讲 不等式（解析版）

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第 02 讲 不等式
【考点梳理】
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若 a＝b，则 b＝a.
(2)传递性：若 a＝b，b＝c，则 a＝c.
(3)可加性：若 a＝b，则 a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若 a＝b，则 ac＝bc；若 a＝b，c＝d，则 ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b
时取等号.
(3)其中称为正数 a，b的算术平均数，称为正数 a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当 a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y
时，x＋y有最小值是 2(简记：积定和最小).
(2)如果和 x＋y是定值 s，那么当且仅当 x ＝ y
时，xy 有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 x1＝
x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 { x | x 1＜ x ＜ x 2}∅ ∅
3.(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集
不等式
解集
a<ba＝ba>b
(x－a)·(x－b)>0 { x | x < a
或
x > b } { x | x ≠ a } { x | x < b
或
x > a }
(x－a)·(x－b)<0 { x | a < x < b } ∅{ x | b < x < a }
4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f ( x )· g ( x )>0(<0) .
(2)≥0(≤0)⇔f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且
g ( x ) ≠ 0 .
【解题方法和技巧】
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法
的主要步骤为作差 变形 判断正负—— —— .
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一
定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常
常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选
择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等 ，
例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.在解决不等式 ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切 x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，
需要对二次项系数 a进行讨论，并研究当 a＝0时是否满足题意.
6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数
在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
【考点剖析】
【考点 1】不等式的性质
题型一：不等式 性质
一、单选题
1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ）
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