《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》第01讲 集合与逻辑（原卷版）

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第 01 讲 集合与逻辑
【考点梳理】
【考点 1】集合的有关知识
1． 集合的概念
把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该
集合的元素。任何一个对象
Eξ=
对于某一个集合
kπ −π
6
来说，或是属于该集合
n
，或是不属于该集合
a+bi=c+di⇔a=c , b=d
。
（1） 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性；
（2） 集合的分类：有限集，无限集，空集；
（3） 常用数集：正整数集 ，自然数集
−7
4π
，整数集
|O1O2
|=d
，有理数集
±
⃗
AB
|
⃗
AB|
，实数集
；
（4） 集合的表示法：列举法和描述法。
2. 子集与真子集
子集：若集合
A
中任何一个元素都属于集合 ，则集合
叫做集合
(B+C)A=BA +CA
的子集，记作
f(x)=sin x
3cos x
3+
√
3 cos2x
3.
或
7
；
真子集：对于集合 和 ，若
A⊆B
,且
B
中至少有一个元素不属于
A
，则集合
ϕ
叫做集合
π
的真
子集，记作
kπ+π
2,0
相等的集合：对于两个集合
ϕ
和
B
，若 ，且 ，则叫做集合 与集合 相等，记作
；
（1）空集是任何集合的子集，即 ，空集是任何非空集合的真子集；
（2）任何集合
|a1b1
a2b2
|=a1b2−a2b1
是其自身的子集，即
|a1b1
a2b2
|
；
（3）子集的传递性：若
a1b2−a2b1
，则
|a1b1
a2b2
|
；
（4）若
a1b2−a2b1
，则
a1,a 2, b1, b2
|
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
|= a1b2c3
+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2
或
|
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
|
；
（5）相等的集合中的所含元素完全相同；
（6）连接元素与集合的符号有：
a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2
−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2
和
ai, bi,ci(i=1,2,3 )
；
（7）连接集合与集合的符号有：
|
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
|
， ， 等；
（8）含有
A1=|b2c2
b3c3
|, B1=−|a2c2
a3c3
|, C
1=|a2b2
a3b3
|
个元素的集合的子集共有
a1,b1, c1
个,真子集有
2n−1
个。
3. 集合的运算
交集： ；
并集： ；
补集：
（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并
集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同；
（2）交集的性质： ， ，
A∩∅=∅
，
A∩B⊆A
， ；
（3）并集的性质： ，
A∪A=A
，
A∪∅=A
，
A , B , C
，
A=B
；
（4）
A∩C=B∩C
，
A∪B=A⇔B⊆A
；
（5）集合的运算满足分配律：
A∩(B∪C)=( A∩B)∪( A∩C)
，
A∪(B∩C)=( A∪B)∩( A∪C)
；
（6）补集的性质：
（7）摩根定律：
，
【考点 2】命题
命题：能够判断真假的陈述句叫命题。
分类：真命题和假命题
命题
p
和命题
q
真命题
假命题
如果
p⇒q
，并且
q⇒p
，那么记作
q⇔p
，叫做
p
与
q
等价
【考点 3】充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q 且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【考点 4】反证法
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，
如果有多种情况，则必须一一否定．
【解题方法和技巧】
1.集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
2、充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
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