《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类（精讲精练）（解析版）

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专题 17 函数与导数压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈
逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究
和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
【核心考点目录】
核心考点一：含参数函数单调性讨论
核心考点二：导数与数列不等式的综合问题
核心考点三：双变量问题
核心考点四：证明不等式
核心考点五：极最值问题
核心考点六：零点问题
核心考点七：不等式恒成立问题
核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
核心考点九：利用导数解决一类整数问题
核心考点十：导数中的同构问题
核心考点十一：洛必达法则
核心考点十二：导数与三角函数结合问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
【解析】（1） ，故 ，而 ，
曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）（i）当 时，
因为曲线 和 有公共点，故 有解，
设 ，故 ，故 在 上有解，
设 ，故 在 上有零点，
而 ，
若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，
而 ， ，故 在 上无零点，
故 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上存在唯一零点 ，
且 时， ； 时， ；
故 时， ； 时， ；
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
因为 在 上有零点，故 ，故 ，
而 ，故 即 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ，故 .
（ii）因为曲线 和 有公共点，
所以 有解 ，其中 ，
若 ，则 ，该式不成立，故 .
故 ，考虑直线 ，
表示原点与直线 上的动点 之间的距离，
故 ，所以 ，
下证：对任意 ，总有 ，
证明：当 时，有 ，故 成立.
当 时，即证 ，
设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为减函数，故 即 成立.
综上， 成立.
下证：当 时， 恒成立，
，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 恒成立.
下证： 在 上恒成立，即证： ，
即证： ，即证： ，
而 ，故 成立.
故 ，即 成立.
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）因为 ，ÃÃÃÃ
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