《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类（精讲精练）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-12 18 4 1.45MB 20 页 3知币
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专题 16 函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较
小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难
度中等偏上，属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则
（••••）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、
最大值分别为（••••）
A．B．C．D．
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（••••）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
4．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数 x，记
．若 至少有 3个零点，则实数 的取值范围为_____
_.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则 a的取值范围是____________．
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 a的取值
范围是________________．
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ________；
若当 时， ，则 的最大值是_________．
8．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为__________
__，____________．
9．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则 a的
一个取值为________；a的最大值为___________．
【方法技巧与总结】
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该
段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自
变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解
析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对
进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，
数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参
数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，
然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图
象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通
过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和
区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借
助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助
导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原
函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ，对于三次函数 ，其导函数为
，根的判别式 ．
判
别
式
图
象
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