《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）（原卷版）

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专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵
活运用
【命题规律】
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性
是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等
式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知 奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 R，且
，则 （rrrr）
A．B．C．0D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为 R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （rrrr）
A．B．C．D．
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为
，记 ，若 ， 均为偶函数，则（rrrr）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____，____
__．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进
行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上
为增（或减）函数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域
内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇
函数的和的形式．记 ， ，则
．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、
除四则运算所得的函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
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