《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 15 4 2.83MB 45 页 3知币
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专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵
活运用
【命题规律】
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性
是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等
式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知 奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 R，且
，则 （rrrr）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函
数，令 得， ，即有 ，从
而可知 ， ，故 ，即
，所以函数 的一个周期为 ．因为 ，
， ， ，
，所以
一个周期内的 ．由于 22 除以 6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中
知 ，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所
以 符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以
，
由于 22 除以 6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为 R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，
则 （rrrr）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为 R，
所以
因为 ，所以 ．
所以
．
故选：D
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为
，记 ，若 ， 均为偶函数，则（rrrr）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即
①，所以 ，所以 关于 对称，则 ，故 C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于
对称，由①求导，和 ，得
，所以
，所以 关于 对称，因为其定义域为 R，所以 ，结合
关于 对称，从而周期 ，所以 ，
，故 B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，故 A错误．
故选：BC．
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．
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