《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（精讲精练）（原卷版）

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专题 12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳

【命题规律】

1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准

方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质

及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．

2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽

象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．

【核心考点目录】

核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线

核心考点二：蒙日圆

核心考点三：阿基米德三角形

核心考点四：仿射变换问题

核心考点五：圆锥曲线第二定义

核心考点六：焦半径问题

核心考点七：圆锥曲线第三定义

核心考点八：定比点差法与点差法

核心考点九：切线问题

核心考点十：焦点三角形问题

核心考点十一：焦点弦问题

核心考点十二：圆锥曲线与张角问题

核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题

核心考点十四：圆锥曲线与通径问题

核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题

核心考点十六：圆锥曲线与四心问题

【真题回归】

1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线

的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近

线交于点 A，若，则双曲线的标准方程为（œœœœ）

A．B．

C．D．

2．（2022·全国·统考高考真题）设 F为抛物线的焦点，点 A在C上，点，

若，则（œœœœ）

A．2B．C．3D．

3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分

别为 C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则 C的方程为（œœœœ）

A．B．C．D．

4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知 O为坐标原点，点在抛物线

上，过点的直线交 C于P，Q两点，则（œœœœ）

A．C的准线为 B．直线 AB 与C相切

C．D．

5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知 O为坐标原点，过抛物线

焦点 F的直线与 C交于 A，B两点，其中 A在第一象限，点，若

，则（œœœœ）

A．直线的斜率为 B．

C．D．

6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为 A，两个

焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与 C交于 D，E两点，，

则的周长是________________．

7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与

圆有公共点，则 a的取值范围是________．

8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线 l与椭圆在第一象限交于 A，B两点，l

与x轴，y轴分别交于 M，N两点，且，则 l的方程为___________．

【方法技巧与总结】

1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据

定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲

线，则应对其中的变量或进行限制．

2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；

在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通

过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．

3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三

角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．

4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线

的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，

如利用坐标范围构造函数或不等关系等．

【核心考点】

核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线

【典型例题】

例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左右两个焦点分别为、，

是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线

的方程________；在曲线上，点，，则的最小值______

__．

例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．

他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，

人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系

中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程

为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则

的最小值为______．

例3．（2022 春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点 A，B，设点 P在同一平

面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊

数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线

，分别为双曲线的左右焦点，､A，B为双曲线虚轴的上下端点､，

动点P满足，面积的最大值为 4．点 M，N在双曲线上，且关于原点 O对

称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 _____

_________ ；过的直线与双曲线右支交于 C，D两点（其中 C点在第一象限），设点

､分别为､的内心，则的范围是 ____________ ．

核心考点二：蒙日圆

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