《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题11 离心率问题速解（精讲精练）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-12 17 4 1.46MB 18 页 3知币
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专题 11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式
考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
核心考点八：焦点到渐近线距离为 b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为 A，点 P，Q均在
C上，且关于 y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则 C的离心率为（nnnn）
A．B．C．D．
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A，B两点，交双曲线的渐近线于
C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（nnnn）
A．B．C．2 D．3
3．（2021·全国·统考高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任
意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（nnnn）
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线 C的两个焦点为 ，以 C的实轴为
直径的圆记为 D，过 作 D的切线与 C交于 M，N两点，且 ，则 C的离心
率为（nnnn）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为 A，两个
焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 C交于 D，E两点， ，
则 的周长是________________．
6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线 的左焦点为 F，过 F且斜
率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若
，则双曲线的离心率是_________．
7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为 e，写出满足条
件“直线 与 C无公共点”的 e的一个值______________．
【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦
点， 为椭圆上的任意一点， ； 为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为
椭圆上的动点，若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
【核心考点】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典型例题】
例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 上一点 关于原点的对称
点为点 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心
率 的取值范围是（nnnn）
A．B．C．D．
例2．（2022 春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点 分别是椭圆
的左、右焦点，点 是椭圆上的一个动点，若使得满足 是直角三角形的动点 恰好
有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022 秋·安徽·高二校联考开学考试）若 P是以 ， 为焦点的椭圆
上的一点，且 ， ，则此椭圆的离心率为
（nnnn）
A．B．C．D．
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典型例题】
例4．（2022 春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆 （ ），椭圆
的左、右焦点分别为 ， ，P是椭圆 C上的任意一点，且满足 ，则椭圆 C
的离心率 e的取值范围是（nnnn）
A．B．C．D．
例5．（2022 春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆 的左、右
焦点分别为 ，若 C上存在一点 P，使得 ，且 内切圆的半径大于
，则 C的离心率的取值范围是（nnnn）
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