《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题11 离心率问题速解（精讲精练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 28 4 5.01MB 73 页 3知币
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专题 11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式
考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
核心考点八：焦点到渐近线距离为 b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为 A，点 P，Q均在
C上，且关于 y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则 C的离心率为（nnnn）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选 A.
[方法二]：第三定义
设右端点为 B，连接 PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选 A.
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A，B两点，交双曲线的渐近线于
C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（nnnn）
A．B．C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
3．（2021·全国·统考高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任
意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（nnnn）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，
由 可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线 C的两个焦点为 ，以 C的实轴为
直径的圆记为 D，过 作 D的切线与 C交于 M，N两点，且 ，则 C的离心
率为（nnnn）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为
B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
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