《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题09 排列组合高考常见小题全归类（精讲精练）（原卷版）

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专题 09 排列组合高考常见小题全归类

【命题规律】

排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为

主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际

联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数

学应用的思维意识．

【核心考点目录】

核心考点一：两个计数原理的综合应用

核心考点二：直接法

核心考点三：间接法

核心考点四：捆绑法

核心考点五：插空法

核心考点六：定序问题（先选后排）

核心考点七：列举法

核心考点八：多面手问题

核心考点九：错位排列

核心考点十：涂色问题

核心考点十一：分组问题

核心考点十二：分配问题

核心考点十三：隔板法

核心考点十四：数字排列

核心考点十五：几何问题

核心考点十六：分解法模型与最短路径问题

核心考点十七：排队问题

核心考点十八：构造法模型和递推模型

核心考点十九：环排问题

【真题回归】

1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排参加文艺汇

演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（¸¸¸¸）

A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种

2．（2021·全国·统考高考真题）将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶 4个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1个项目，每个项目至少分配 1名志

愿者，则不同的分配方案共有（¸¸¸¸）

A．60 种B．120 种C．240 种D．480 种

3．（2020·山东·统考高考真题）现从 4名男生和 3名女生中，任选 3名男生和 2名女

生，分别担任 5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（¸¸¸¸）

A．12 B．120 C．1440 D．17280

4．（2020·海南·高考真题）要安排 3名学生到 2个乡村做志愿者，每名学生只能选择

去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（¸¸¸¸）

A．2种B．3种C．6种D．8种

5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学

只去 1个场馆，甲场馆安排 1名，乙场馆安排 2名，丙场馆安排 3名，则不同的安排方法

共有（¸¸¸¸）

A．120 种B．90 种

C．60 种D．30 种

6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12．

设1≤i<j<k≤12．若 k–j=3 且j–i=4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 k–j=4 且j–i=3，则

称ai，aj，ak 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个

数之和为（¸¸¸¸）

A．5B．8C．10 D．15

7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的 8个顶点中任选 4个，则这 4个点在同一

个平面的概率为________．

8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到 3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同

学只去 1个小区，每个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

【方法技巧与总结】

1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取

种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方

案有种．

...

-1

2、错位排列公式

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题

的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排

列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位

子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数．

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将 n个不同元素排成一排，其中某k

个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这 k个元素“捆绑在一起”，看

成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”

在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件

的排法共有种．

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某

个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成

一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据

分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 ·种．

7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：

（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计

数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原

则是先分类，再分步．

（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位

置等），再考虑其他情形．

（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分

配”．

（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．

【核心考点】

核心考点一：两个计数原理的综合应用

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