《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题06 一网打尽外接球与内切球问题（精讲精练）（解析版）

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专题 06 一网打尽外接球与内切球问题
【命题规律】
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之
一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能
力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大
题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：正方体、长方体外接球
核心考点二：正四面体外接球
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
核心考点四：直棱柱外接球
核心考点五：直棱锥外接球
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
核心考点八：共斜边拼接模型
核心考点九：垂面模型
核心考点十：二面角模型
核心考点十一：坐标法
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
核心考点十三：锥体内切球
核心考点十四：棱切球
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知球 O的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个
顶点均在球 O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ŸŸŸŸ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形 ABCD，四边形 ABCD 所在小圆半径为 r，
设四边形 ABCD 对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形 ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点 O到底面 ABCD 所在小圆距离一定时，底面 ABCD 面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径
为 ，则 ，所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径
为 ，则 ，所以该四棱锥的高 ， ，令 ，
，设 ，则 ，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是
通性通法．
2．（2021·全国·高考真题（理））已知 A，B，C是半径为 1的球 O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ŸŸŸŸ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为 1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 和 ，
其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ŸŸŸŸ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即
，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ，
，故 或 ，即 或
，解得 符合题意，所以球的表面积为 ．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球
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