《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题05 数列放缩（精讲精练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 16 4 3.02MB 57 页 3知币
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专题 05 数列放缩
【命题规律】
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所
降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是
考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢
常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
【核心考点目录】
核心考点一：先求和后放缩
核心考点二：裂项放缩
核心考点三：等比放缩
核心考点四： 型不等式的证明
核心考点五： 型不等式的证明
核心考点六： 型不等式的证明
核心考点七： 型不等式的证明
【真题回归】
1、（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，••••
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
2、（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前 n项和，已知 是公差为 的等
差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ ,∴,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴,∴,
∴当 时， ，
∴,
整理得： ,
即,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
3、（2021·天津·高考真题）已知 是公差为 2的等差数列，其前 8项和为 64． 是公
比大于 0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
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