《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）（原卷版）

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专题 04 数列的通项、求和及综合应用

【命题规律】

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考

查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显

（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等

或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度

趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往

与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考

查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．

数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．

【核心考点目录】

核心考点一：等差、等比数列的基本量问题

核心考点二：证明等差等比数列

核心考点三：等差等比数列的交汇问题

核心考点四：数列的通项公式

核心考点五：数列求和

核心考点六：数列性质的综合问题

核心考点六：实际应用中的数列问题

核心考点七：以数列为载体的情境题

【真题回归】

1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则

（››››）

A．B．C．D．

2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前 n项和．若，则

公差 _______．

3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为 2的等比数列，且

．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前 n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且

．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前 n项和为，求证：；

(3)求．

6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前 n项

和为．

(1)若，求；

(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求 d的取

值范围．

【方法技巧与总结】

1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足

（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明

；

2、数列满足，则是等差数列；

3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；

4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，

消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便

于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．

5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形

如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通

项公式时，要对第一项是否满足进行检验．

6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比

数列，从而求解该数列的通项公式：

（1）形如（，），可变形为，则

是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；

（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得

，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；

（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形

式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．

7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可

以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对

其是否为进行讨论．

8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，

，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一

项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．

常见的裂项公式：

（1）；

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