《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）（解析版）

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专题 04 数列的通项、求和及综合应用

【命题规律】

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考

查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显

（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等

或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度

趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往

与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考

查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．

数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．

【核心考点目录】

核心考点一：等差、等比数列的基本量问题

核心考点二：证明等差等比数列

核心考点三：等差等比数列的交汇问题

核心考点四：数列的通项公式

核心考点五：数列求和

核心考点六：数列性质的综合问题

核心考点六：实际应用中的数列问题

核心考点七：以数列为载体的情境题

【真题回归】

1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则

（››››）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】∵ ，易得，依次类推可得

由题意，，即，

∴ ，

即，，，…，，

累加可得，即，

∴ ，即， ,

又，

∴ ，，，…，

，

累加可得，

∴ ，

即，∴ ，即；

综上：．

故选：B．

2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前 n项和．若，则

公差 _______．

【答案】2

【解析】由可得，化简得，

即，解得 .

故答案为：2.

3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为 2的等比数列，且

．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，

，所以原命题得证．

（2）由（1）知，，所以，即，

亦即，解得，所以满足等式的解，故集合

中的元素个数为．

4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前 n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【解析】（1）因为，即 ①，

当时， ②，

① ②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有 .

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表

达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且

．

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