《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题（精讲精练）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-12 25 4 1.38MB 27 页 3知币
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专题 02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与
最值问题
【命题规律】
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题
填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：倍长定比分线模型
核心考点二：倍角定理
核心考点三：角平分线模型
核心考点四：隐圆问题
核心考点五：正切比值与和差问题
核心考点六：四边形定值和最值
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点 D在边 BC 上，
．当 取得最小值时， ________．
2．（2022·全国·高考真题）记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 b．
3．（2022·全国·高考真题（文））记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c﹐已知
．
（1）若 ，求 C；
（2）证明：
4．（2022·全国·高考真题）记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
．
（1）若 ，求 B；
（2）求 的最小值．
【方法技巧与总结】
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的
关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的
方程，通过解方程求得未知元素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的
转化．要适当选用公式，对于面积公式 ，一般是已知哪
一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是
利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三
角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等
式、二次函数等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵
活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结
合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，
再利用单调性求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中
所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐
标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
【核心考点】
核心考点一：倍长定比分线模型
【规律方法】
如图，若 在边 上，且满足 ， ，则延长 至 ，使 ，
连接 ，易知 ∥ ，且 ， ． ．
【典型例题】
例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在 中， ， ，
为 上一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为
（øøøø）
A．B．C．D．
例2．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知
，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设 a，b，c分别为 的内角 A，B，C的对边，
AD 为BC 边上的中线，c＝1， ， ．
(1)求AD 的长度；
(2)若E为AB 上靠近 B的四等分点，G为 的重心，连接 EG 并延长与 AC 交于点 F，
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