《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》思想02 运用数形结合的思想方法解题（精讲精练）（解析版）

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思想 02 运用数形结合的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼
顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题
一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果
说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的
意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中
常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思
想等．
【核心考点目录】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【真题回归】
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平
面内的动点，且 ，则 的取值范围是（••••）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
••••••••
2．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数 x，记
．若 至少有 3个零点，则实数 的取值范围为_____
_．
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 ．
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 ．
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为 A，两个
焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 C交于 D，E两点， ，
则 的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的
直线与 C交于 D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率
倒数为 ， 直线 的方程： ，代入椭圆方程 ，整理化简得到：
，
判别式
，
∴ ，
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