《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》思想01 运用分类讨论的思想方法解题（精讲精练）（原卷版）

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思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼
顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题
一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果
说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的
意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中
常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思
想等．
【核心考点目录】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
核心考点二：由定义引起的分类讨论
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都
经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求 a的取值范围．
【方法技巧与总结】
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情
况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合
两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标
准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如
直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为
1
等．（2）
由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式
两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的
真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等
（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能
性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类
讨论思想，如体育比赛的规则等．
【核心考点】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【典型例题】
例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 5分，
有选错的得 0分，部分选对的得 3分．若选项中有 其中 个选项符合题目要
求，随机作答该题时 至少选择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，
则有（''''）
A．B．
C．D．
例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者
进入败者组；
第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为 ；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别
为 ；丙与丁比赛，丙的胜率为 任意两场比赛之间均相互独立．
求丙在第二轮被淘汰的概率；
在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，
经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个
数是相互独立的且有相同的分布列，设 X表示 1个微生物个体繁殖下一代的个数，
已知 ，求 ；
设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当
时， ；
根据你的理解说明 问结论的实际含义．
核心考点二：由定义引起的分类讨论
【典型例题】
例4．已知数列 满足
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