《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》思想01 运用分类讨论的思想方法解题（精讲精练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 22 4 2.55MB 38 页 3知币
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思想 01 运用分类讨论的思想方法解题
【命题规律】
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼
顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题
一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果
说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的
意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中
常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思
想等．
【核心考点目录】
核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论
核心考点二：由定义引起的分类讨论
核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论
核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都
经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【解析】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有 3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有 3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故.
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有 3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
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