《2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）》技巧04 结构不良问题解题策略（精讲精练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 22 4 3.6MB 52 页 3知币
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技巧 04 结构不良问题解题策略
【命题规律】
结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，
应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：三角函数与解三角形
核心考点二：数列
核心考点三：立体几何
核心考点四：函数与导数
核心考点五：圆锥曲线
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐
近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B两点，点 在 C上，且
．过 P且斜率为 的直线与过 Q且斜率为 的直线交于点 M.从下面①
②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称
性可知 在 轴上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，
已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去 y并化简整理得：
设,线段中点为 ,则,
设,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③ 成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，
平面 平面 ， ，M，N分别为 ，AC 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的
正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
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