《2023届高考数学二轮复习不等式妙招》4权方和不等式-解析版
第 4 讲 权方和不等式
知识与方法
柯西不等式:对于任意的 恒有不等式 .
对柯西不等式变形,易得 .
在 时,我们就有了: ,当 时,等号成立.
这就是我们今天要讲的权方和不等式.
当然,柯西不等式有多维形式,同理权方和也可以拓展成多维形式:
若 ,则 成立,当 时,等号成立.
权方和不等式还可以推广为如下形式:
若 ,则 成立,当 的时,
等号成立.
观察特征, 成为该不等式的权,它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高 1 次.
利用权方和不等式可以巧妙的解决一些多元最值问题.下面就从一些我们常见的模拟题中举例
说明权方和在求最值中的应用.
典型例题
【例 1】已知 为正实数,若 ,则 的最小值为 .
【解析】 .
当 时,即 时有 的最小值 .
【答案】 .
【例 2】设 , ,若 ,则 的最小值为( )
A. B.6 C. D.
【解析】 .
当 时, 时取等号.
【例 3】已知实数 满足 且 ,则 的最小值是 .
【解析】
2
x+3y+1
x − y ⩾¿¿
.
当
2
x+3y=1
x− y
时,
x=
√
2−1
2, y=3
2−
√
2
取等号.
【例 4】已知
a>0, b>0
, 且
2
a+2+1
a+2b=1
, 则
a+b
的最小值是
【解析】
1=2
a+2+1
a+2b⩾¿¿
.
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