《2023届高考数学二轮复习不等式妙招》3柯西不等式-解析版
第 3 讲 柯西不等式
知识与方法
在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比
较方便快捷.
二维形式:
,等号成立条件: .
扩展:
等号成立条件:
(当 或 时, 和 都等于 ,不考虑
二维形式的证明:
等号在且仅在 ,即 时成立.
向量形式的证明:
令
,
.
典型例题
【例 1】实数 满足 ,则 的最大值是 .
【解析】
【解法 1】由柯西不等式得
故
的最大值是 .
【解法 2】万能 法
【解法 3】
令 ，直线 与椭圆相切时有最值
由硬解定理（见圆锥曲线）得 ， ，所以最大值为
【解法 4】三角换元
辅助角公式 ，所以最大值为
【答案】 .
【例 2】已知实数 满足 ,则 的最小值是 .
【解析】
【解法 1】实数 满足 ,由柯西不等式可得,
即 ,求得 ,
当且仅当 时,取等号,
故 的最小值是 2.
【解法 2】 ,令 ,
题目转换为 ,求 的最小值,
地位等价法,
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