《2023届高考数学二轮复习不等式妙招》2万能k法-解析版
第 2 讲 万能 法
知识与方法
在题目给定关于 的一个二次式,要求另一个代数式的值,可以直接令此式子等于 ,然后用
表示 ,代人原式,得到一个关于 的一元二次方程,利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出
的范围即可,此方法称之为万能 法.
典型例题
【例 1】若实数 满足 ,则 的最大值是 .
【解析】
【解法 1】(万能 法):令 ,则 ,代入题于 ,整理
,
即
,得 ,故
【解法 2】
.
故可知 的最大值是 .
【答案】 .
【例 2】若正实数 满足 ,则 的最小值为
【解析】
【解法 1】 正实数 满足
当且仅当 ,即 时取等号,
则 的最小值为 .
【解法 2】令 ,则 带入原式 ,
整理得 ,
从而
,
解得 或 (舍).
【答案】 .
【例 3】设 为实数,若 ,则 的最大值是 .
【解析】令 ,则
,化为
为实数, ,
解得 ,解得
的最大值为 .
【答案】 .
【例 4】已知实数 满足 ,则 ,则 的最大值是
【解析】
【解法 1】令 时,
.
【解法 2】
因为 ,所以 ,
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