《2023届高考数学二轮复习不等式妙招》1地位等价法-解析版

3.0 cande 2025-05-12 17 4 312.74KB 10 页 3知币
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第 1 讲 地位等价法
知识与方法
在求最值时,如果 互换位置,题目不变,我们称之为 地位等价,通常可以使用地位等价
法.为什么这个地方加“通常”二字,严格来讲,此方法并非万能,非要说它的原理,应该来源于
基本不等式中“一正二定三相等”的“三相等”,所以建议在部分选择题或者实在不会做时使
用.
地位等价法使用条件:当 互换位置题目不变时或者当系数成比例时,合理换元(忽略乘积
项).
地位等价法使用方法与步骤如下：
1.令 ；2.求出 值；3.代入即可.
典型例题
【例 1】若实数 满足 ,则 的最大值是( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法 1】 ∵实数 满足 ,即 .
再由 ,可得 ,解得 ,
,故 的最大值为 .
【解法 2】令 ,则 最大.
【答案】A.
【例 2】已知 ,则 的取值范围 ( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法 1】 ,
则 ,
当且仅当 时取得最小值 4.
【解法 2】令 .
【答案】 .
【例 3】已知 ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法 1】考查基本不等式 ,
整理得 ,
即 ,
又 ,所以 ..
【解法 2】将 当作整体 ,将 当作整体 ,令 即可.
【答案】B
【例 4】已知 , , ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法 1】:
.
,
当且仅当 时取等号.
【解法 2】 与 地位等价,令 即可.
【答案】C.
【例 5】已知 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
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