《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题5.7 三角函数的应用（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-12 28 4 1.73MB 11 页 3知币
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专题 5.7 三角函数的应用
【考点 1：几何中的三角函数模型】..................................................................................................................... 1
【考点 2：三角函数在实际生活中的应用】......................................................................................................... 4
【考点 3：三角函数在物理学中的应用】............................................................................................................. 7
【考点 4：数学文化及新定义】............................................................................................................................. 9
【考点 1：几何中的三角函数模型】
【知识点：几何中的三角函数模型】
1．（广东省清远市 2023 届高三上学期期末数学试题）如图，已知 OAB 是半径为 2km 的扇形，
OA ⊥OB
，
C是弧 AB 上的动点，过点 C作
CH ⊥OA
，垂足为 H，某地区欲建一个风景区，该风景区由
△AOC
和矩
形
ODEH
组成，且
OH =2OD
，则该风景区面积的最大值为（）
A．
5
2km2
B．
11
4km2
C．
D．
17
8km2
2．（2021 秋·北京·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点
M
在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周
运动，每 12 分钟转动一周.若点
M
的初始位置坐标为
(
1
2,
❑
√
3
2
)
，则运动到 3分钟时，动点
M
所处位置的坐
标是____________.
3．（2022 秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长
度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时
发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长 l与太阳天顶距
θ
之
间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长 l等于表高 h与天顶距
θ
正切值的
乘积，即
l=ℎtan θ
．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的 2倍和 3倍，记对应的天顶距
分别为
θ1
和
θ2
，则
tan
(
θ1− θ2
)
=¿
（）
A．
−1
B．
−1
7
C．
1
3
D．1
4．（2022 秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最
大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图 1所示的
A
，
B
两点间的距离，现在旁
边取两点
C
，
D
测得
CD=300
米，
∠ADB=3π
4
，
∠BDC=∠DCA=π
12
，
∠ACB=2π
3
（假设
A
，
B
C
，
D
四点在同一平面上，则
AB
两点的距离为______米.
5．（2022 春·广西桂林·高一校考期中）要把半径为 10 的半圆形木料截成矩形，应该怎么截取，才能使矩
形面积达到最大？
6．（2022·上海宝山·统考一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是
一个直角边长为 6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面
成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面
ABC'
面积达到最大.
7．（2022 秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩
形ABCD 的长 AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB 中点，为了便于游客观光休闲，在观光区
铺设一条由圆弧 AE、线段EF、FC 组成的观光道路，其中线段EF 经过圆心P，点 F在线段CD 上（不含
线段端点C，D），已知道路 AE，FC 的造价为每千米20 万元，道路 EF 造价为每千米70 万元，设∠APE
＝θ，观光道路的总造价为y万元．
(1)试求 y与θ的函数关系式y＝f（θ），并写出 θ的取值范围；
(2)当θ为何值时，观光道路的总造价 y最小．
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