《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题5.7 三角函数的应用（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 5.7 三角函数的应用
【考点 1：几何中的三角函数模型】..................................................................................................................... 1
【考点 2：三角函数在实际生活中的应用】......................................................................................................... 6
【考点 3：三角函数在物理学中的应用】........................................................................................................... 11
【考点 4：数学文化及新定义】........................................................................................................................... 15
【考点 1：几何中的三角函数模型】
【知识点：几何中的三角函数模型】
1．（广东省清远市 2023 届高三上学期期末数学试题）如图，已知 OAB 是半径为 2km 的扇形，
OA ⊥OB
，
C是弧 AB 上的动点，过点 C作
CH ⊥OA
，垂足为 H，某地区欲建一个风景区，该风景区由
△AOC
和矩
形
ODEH
组成，且
OH =2OD
，则该风景区面积的最大值为（）
A．
5
2km2
B．
11
4km2
C．
D．
17
8km2
【答案】A
【分析】设
∠COA=θ
，其中
θ∈
(
0,π
2
)
.利用
θ
表示风景区面积，求出最大值即可.
【详解】设
∠COA=θ
，其中
θ∈
(
0,π
2
)
，则
CH =2 sin θ，OH =2 cosθ
.
又
OH =2OD
，则
OD=cosθ
.
则风景区面积
S=1
2⋅OA ⋅CH +OH ⋅OD=2 cos2θ+2 sin θ
.
又
cos2θ+sin2θ=1
，
则
2 cos2θ+2 sin θ=−2sin2θ+2 sin θ+2=−2
(
sin θ − 1
2
)
2
+5
2≤5
2
，
当且仅当
sin θ=1
2
，即
θ=π
6
时取等号.
故选：A
2．（2021 秋·北京·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点
M
在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周
运动，每 12 分钟转动一周.若点
M
的初始位置坐标为
(
1
2,
❑
√
3
2
)
，则运动到 3分钟时，动点
M
所处位置的坐
标是____________.
【答案】
(
−
❑
√
3
2,1
2
)
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出 3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点
M
所处位置
M'
的坐标．
【详解】解：由题意可得图：
每12 分钟转动一周，则运动到 3分钟时，转过的角为
3
12 ×2 π=π
2
；
点
M
的初始位置坐标为
(
1
2,
❑
√
3
2
)
，若角的始边为
x
轴的非负半轴，此时角
α
终边所在直线为
OM
，则
sin α=❑
√
3
2,cos α=1
2
运动到 3分钟时，形成的角度为
α+π
2
，
所以
sin
(
α+π
2
)
=cos α=1
2,cos
(
α+π
2
)
=−sin α=−
❑
√
3
2
动点
M
所处位置
M'
的坐标是
(
−
❑
√
3
2,1
2
)
．
故答案为：
(
−
❑
√
3
2,1
2
)
．
3．（2022 秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长
度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时
发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长 l与太阳天顶距
θ
之
间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长 l等于表高 h与天顶距
θ
正切值的
乘积，即
l=ℎtan θ
．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的 2倍和 3倍，记对应的天顶距
分别为
θ1
和
θ2
，则
tan
(
θ1− θ2
)
=¿
（）
A．
−1
B．
−1
7
C．
1
3
D．1
【答案】B
【分析】根据已知条件得出
tanθ1, tan θ2
的值，利用两角差的正切公式可得结果.
【详解】由题意知
tanθ1=2,tan θ2=3
，所以
tan
(
θ1− θ2
)
=tanθ1−tan θ2
1+tan θ1tan θ2
=2−3
1+2×3=−1
7
故选：B.
4．（2022 秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最
大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图 1所示的
A
，
B
两点间的距离，现在旁
边取两点
C
，
D
测得
CD=300
米，
∠ADB=3π
4
，
∠BDC=∠DCA=π
12
，
∠ACB=2π
3
（假设
A
，
B
C
，
D
四点在同一平面上，则
AB
两点的距离为______米.
【答案】
300❑
√
5
【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决.
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