《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题5.5 三角恒等变换（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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专题 5.5 三角恒等变换
【考点 1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】.............................................................................................. 1
【考点 2：二倍角公式】........................................................................................................................................ 3
【考点 3：三角函数式的化简求值】..................................................................................................................... 4
【考点 4：三角恒等变换的综合问题】................................................................................................................. 6
【考点 1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_α cos _β － sin _α sin _β
S(α－β)sin(α－β)＝sin_α cos _β － cos _α sin _β
S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_α cos _β ＋ cos _α sin _β
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
1．（山西省部分学校 2023 届高三上学期期末数学试题）已知
sin
(
α − π
4
)
=❑
√
2
4
，则
sin α
1−tan α
的值为
（）
A．
−3
4
B．
3
4
C．
−3
2
D．
3
2
2．（2023·高一课时练习）若
sin
(
α − β
)
⋅cos α −cos
(
α − β
)
⋅sin α=m
，且
为第三象限角，则
cos β
等于
（）．
A．
❑
√
1− m2
B．
−❑
√
1− m2
C．
❑
√
1+m2
D．
−❑
√
1+m2
3．（2022 春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）
sin 40 °sin 55°+sin 50 °sin 35°
的值为______.
4．（2022 春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知
α
为第二象限角，
tan α=−4
3
，则
sin
(
α − π
4
)
的
值为___________.
5．（2023·高一课时练习）若
tan α=−4
3
，
sin β=3
5
，且
α、β∈
(
π
2, π
)
，则
sin
(
α − β
)
=¿
________．
6．（2023·高一课时练习）已知
cos x+cos y=1
2
，
sin x − sin y=1
3
，求
cos
(
x+y
)
的值．
7．（2023·高一课时练习）若
m∈R
，点
A
(
tan α , 0
)
，
B
(
tan β , 0
)
是二次函数
f
(
x
)
=m x2+
(
2m −3
)
x+m− 2
图象上的点，求函数
y=tan
(
α+β
)
的最小值．
8．（2022 春·河南·高一河南省实验中学阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角
α
和钝角
β
的终边分
别与单位圆交于 A，B两点．
(1)如果 A，B两点的纵坐标分别为
4
5,12
13
，求
cos α
和
sin β
的值；
(2)在（1）的条件下，求
cos (β − a)
的值．
【考点 2：二倍角公式】
【知识点：二倍角公式】
S2α
sin 2α＝2sin_α cos _α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos 2
α － sin 2
α ＝2cos 2
α － 1 ＝1 － 2sin 2
α ；
变形：cos2α＝，
sin2α＝
T2αtan 2α＝
1．（2022·四川资阳·统考二模）已知
sin
(
α+π
6
)
=1
3
，则
sin
(
2α+5 π
6
)
的值为（）
A．
−7
9
B．
−4❑
√
2
9
C．
4❑
√
2
9
D．
7
9
2．（河北省部分学校 2023 届高三上学期期末数学试题）已知
3 sin2θ+5 sin θ −2=0
，则
cos 2 θ=¿
（）
A．
7
9
B．
8
9
C．
2
3
D．
1
3
3．（2021 春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知
❑
√
2
2
(
sin β
2−cos β
2
)
=−
❑
√
6
3
，则
sin β
的
值是（）
A．
−
❑
√
3
3
B．
−7
9
C．
2
9
D．
−1
3
4．（2023·高一课时练习）若
sin 2 xcos x=sin xcos 2 x
，则 x的一个可能的值是_______．
5．（2023 届普通高中毕业生十二月全国大联考数学试题）已知
cos 2 α+3 cos α=1
，则
tan 2 α+3 tan α=¿
______.
6．（2022 春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知
α∈
(
π
2,π
)
，
sin α=❑
√
5
5
，则
sin 2 α=¿
__________．
7．（2022·上海金山·统考一模）函数
y=3 sin 2x+2❑
√
3 sin xcos x+cos2x , x ∈
[
0,π
2
]
的值域为__________
_.
8．（2022 春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知
cos (α − π
6)= 3
4
，则
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