《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题5.5 三角恒等变换（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 5.5 三角恒等变换
【考点 1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】..............................................................................................1
【考点 2：二倍角公式】........................................................................................................................................ 4
【考点 3：三角函数式的化简求值】..................................................................................................................... 8
【考点 4：三角恒等变换的综合问题】............................................................................................................... 12
【考点 1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_α cos _β － sin _α sin _β
S(α－β)sin(α－β)＝sin_α cos _β － cos _α sin _β
S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_α cos _β ＋ cos _α sin _β
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
1．（山西省部分学校 2023 届高三上学期期末数学试题）已知
sin
(
α − π
4
)
=❑
√
2
4
，则
sin α
1−tan α
的值为
（）
A．
−3
4
B．
3
4
C．
−3
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】根据正弦的和差角公式可得
sin α − cos α=1
2
，平方可得
，进而化切为弦即可求解.
【详解】由
sin
(
α − π
4
)
=❑
√
2
4
，则
❑
√
2
2
(
sin α −cos α
)
=❑
√
2
4
，即
sin α − cos α=1
2
，
所以
(
sin α − cos α
)
2=1−2 sin αcos α=1
4
，则
sin αcos α=3
8
，
故
sin α
1−tan α=sin αcos α
cos α −sin α=
3
8
−1
2
=−3
4
.
故选：A.
2．（2023·高一课时练习）若
sin
(
α − β
)
⋅cos α −cos
(
α − β
)
⋅sin α=m
，且
β
为第三象限角，则
cos β
等于
（）．
A．
❑
√
1− m2
B．
−❑
√
1− m2
C．
❑
√
1+m2
D．
−❑
√
1+m2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式可得
sin
(
− β
)
=m
，进而得
sin β=− m
，根据同角平方和关系即可求解.
【详解】由
sin
(
α − β
)
⋅cos α −cos
(
α − β
)
⋅sin α=m
得
sin
[
(
α − β
)
− α
]
=m
，
所以
sin
(
− β
)
=m
，即
sin β=− m
，由于
β
为第三象限角，所以
cos β<0
，故
cos β=−❑
√
1−sin2β=−❑
√
1−m2
，
故选：B
3．（2022 春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）
sin 40 °sin 55°+sin50 °sin 35°
的值为______.
【答案】
❑
√
6+❑
√
2
4
【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】
sin 40°sin 55 °+sin50 °sin 35°
¿sin 40 °cos 35 °+cos 40 °sin 35 °
¿sin(40°+35 °)
¿sin75 °
¿sin(45°+30 °)
¿sin 45 °cos 30 °+cos 45 °sin 30 °
¿
❑
√
2
2×
❑
√
3
2+
❑
√
2
2×1
2
¿❑
√
6+❑
√
2
4,
故答案为：
❑
√
6+❑
√
2
4
4．（2022 春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知
α
为第二象限角，
tan α=−4
3
，则
sin
(
α − π
4
)
的
值为___________.
【答案】
7❑
√
2
10
【分析】由题知
sin α=4
5,cos α=−3
5
，再根据正弦的差角公式求解即可.
【详解】解：因为
α
为第二象限角，
tan α=−4
3
所以，
sin α=4
5,cos α=−3
5
，
所以，
sin
(
α − π
4
)
=sin αcos π
4−cos αsin π
4=4
5×
❑
√
2
2−
(
−3
5
)
×
❑
√
2
2=7❑
√
2
10
故答案为：
7❑
√
2
10
5．（2023·高一课时练习）若
tan α=−4
3
，
sin β=3
5
，且
α、β∈
(
π
2, π
)
，则
sin
(
α − β
)
=¿
________．
【答案】
−7
25
【分析】利用两角差的正弦公式求解.
【详解】解：因为
tan α=−4
3
，
sin β=3
5
，且
α、β∈
(
π
2, π
)
，
所以
cos α=−3
5,sin α=4
5
，
cos β=−4
5
，
所以
sin
(
α − β
)
=sin αcos β − cos αsin β
，
¿4
5×
(
−4
5
)
−
(
−3
5
)
×3
5
，
¿−7
25
，
故答案为：
−7
25
6．（2023·高一课时练习）已知
cos x+cos y=1
2
，
sin x − sin y=1
3
，求
cos
(
x+y
)
的值．
【答案】
−59
72
【分析】将两式平方相加，由同角平方和关系以及余弦的和角公式即可求解.
【详解】将
cos x+cos y=1
2
两边平方得
cos2x+cos2y+2 cos xcos y=1
4
-①，
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