《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题5.4 三角函数的图象与性质（6类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 5.4 三角函数的图象与性质
【考点 1：正弦、余弦、正切函数的图象】......................................................................................................... 1
【考点 2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】..............................................................................6
【考点 3：正弦、余弦、正切函数的周期性】................................................................................................... 12
【考点 4：正弦、余弦、正切函数的单调性】................................................................................................... 16
【考点 5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】................................................................................................... 23
【考点 6：正弦、余弦、正切函数的对称性】................................................................................................... 26
【考点 1：正弦、余弦、正切函数的图象】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的图象】
三角
函数
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cos x
正切函数
y＝tan x
图象
1．（2022·高一课时练习）函数
y=sin x
，
x∈
[
0,2 π
]
的图像与直线
y=−2
3
的交点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用数形结合即可.
【详解】
在同一平面直角坐标系内，先画函数
y=sin x
，
x∈
[
0,2 π
]
的图像，再画直线
y=−2
3
，可知所求交点的个
数为 2．
故选：C．
2．（2022 秋·上海杨浦·高一校考期中）函数
y=10 sin x
与函数
y=x
的图像的交点个数是（）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【分析】作出函数
和
y=x
的图象，由图象可得交点个数，
【详解】
y=10 sin x
的最小正周期是
2π
，
y=10 sin x∈[−10,10]
，
y=x∈[−10,10]
时，
x∈[−10,10 ]
，作出函数
y=10 sin x
和
y=x
的图象，只要观察
x∈[−10,10 ]
的图
象，由图象知它们有 7个交点，
故选：C．
3．（2022 秋·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在区间
[
0, π
]
内，函数
y=sin x
与
y=tan x
的图
像交点的个数是（）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】对
x
分类讨论，结合正弦、正切函数的性质判断即可；
【详解】解：当
x=0
时
sin x=tan x=0
，故
x=0
是函数
y=sin x
与
y=tan x
的一个交点，
当
x∈
(
0,π
2
)
时，则
tan x −sin x=sin x
(
1
cos x−1
)
，因为
sin x>0
，
0<cos x<1
，
所以
1
cos x>1
，则
1
cos x−1>0
，即
tan x −sin x>0
，所以
tan x>sin x
，此时函数
y=sin x
与
y=tan x
无交
点，
当
x∈
(
π
2, π
)
时，
tan x<0
，
sin x>0
，所以
tan x<sin x
，此时函数
y=sin x
与
y=tan x
无交点，
当
x=π
时
sin x=tan x=0
，故
x=π
是函数
y=sin x
与
y=tan x
的一个交点，
综上可得函数
y=sin x
与
y=tan x
的图像在
[
0, π
]
内有且仅有
2
个交点；
故选：C
4．（2022 春·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）函数
y=6 cos x
与
y=❑
√
3 tan x
在
(
0,π
)
上的图象相交
于M，N两点，O为坐标原点，则
△MON
的面积为（）
A．
2 π
B．
3❑
√
2 π
2
C．
❑
√
3 π
D．
3 π
2
【答案】D
【分析】通过解三角方程求得
M , N
的坐标，从而求得
△MON
的面积.
【详解】依题意，
0<x<π
，则
sin x>0
由
6 cos x=❑
√
3 tan x
，得
6 cos x=❑
√
3 sin x
cos x
，
6 cos2x=❑
√
3 sin x
，
6
(
1−sin2x
)
=❑
√
3 sin x
.
2❑
√
3 sin2x+sin x −2❑
√
3=0
，
(
2 sin x −❑
√
3
) (
❑
√
3 sin x+2
)
=0
，
解得
sin x=❑
√
3
2
，所以
xM=π
3
或
xN=2π
3
（不妨设
xM<xN
），
所以
yM=6 cos π
3=3, yN=6 cos 2π
3=−3
，
所以
M
(
π
3,3
)
, N
(
2π
3, −3
)
，线段
MN
中点坐标为
A
(
π
2,0
)
，
所以
S△MON=
(
1
2×π
2×3
)
×2=3π
2
.
故选：D
5．（2022 春·陕西安康·高二校考期中）函数
f
(
x
)
=sin x
在区间
(
0,22 π
)
上可找到
n
个不同的数
x1, x2,⋅⋅⋅, xn
，
使得
f
(
x1
)
x1
=f
(
x2
)
x2
=⋅⋅⋅=f
(
xn
)
xn
，则
n
的最大值为（）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】C
【分析】题意即考虑直线
y=kx
与
y=sin x
的图象在
(0,22 π)
的交点个数，作出直线与函数图象观察可得．
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